Über konforme Abbildung im Raum. 



Von 

 Karl VonderMühll. 



Seit Mitte des vorigen Jahrhunderts ist bekannt, 

 dass durch das Prinzip der reziproken Radien nicht nur 

 eine Ebene auf einer andern Ebene, sondern auch ein 

 Raum in einem andern Raum konform, d. h. in den 

 kleinsten Teilen ähnlich abgebildet wird. 



Für den Raum hat meines Wissens Liouville den 

 Satz zuerst ausgesprochen.*) Während aber unendlich 

 viele konforme Abbildungen einer Fläche auf einer andern 

 Fläche existieren, ist die Abbildung durch reziproke 

 Radien die einzige, wo die kleinsten Raumteile in Figur 

 und Bild einander ähnlich sind. Auch dieser Satz ist 

 längst bekannt ; doch habe ich eine direkte, rein ana- 

 lytische Ableitung nirgends gefunden; ich erlaube mir 

 daher sie im Folgenden zu geben. 



Es bezeichne (|, /;, ç) einen Punkt der Figur, 

 (x, ) 7 , z) sein Bild in geradlinigen rechtwinkligen Koordi- 

 naten; dff und ds seien zwei einander entsprechende 

 unendlich kleine Längen : 



da 2 = d£ 2 + d#; 3 — dt 2 , 



ds 2 = dx 2 -J- dv 2 -|- dz 2 ; 

 der sogenannte Kartenmodul werde mit p bezeichnet. 



*) Journal de Math. XII. 1847. 



