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Bemerkung. Die Einführung des gefundenen Wertes 

 von cp (n) in die Definitionsgleichung dieser Funktion 

 gibt noch zu einer weitern Bestimmung Anlass. Es 

 wird nämlich 



(nk)! = k~ " n ? (2») (k!) 



für ein unendlich wachsendes k. Diese Eigenschaft der 



Funktion k! kann zur Aufstellung eines Grenzausdruckes 



für sie selbst benützt werden. 



Es sei allgemein f (m) eine Funktion, die der 



Eigenschaft 



|-|n nm + ] \ - ■§- n u 

 f'(nm)=m ' n "(2^)" f( m ) 



genügt, so wird f(m) bei unendlich wachsendem m = k 

 mit k! übereinstimmen. Aus dieser Gleichung folgt nun 

 für m = 1 : 



n + i 1 - \ n n 

 f(n) = n -(2^)" ' f(l) , 



daher ist auch 



m + A \- - i m in 

 f(m)-m -(Ott)- f(l) 



Da beim Übergang von m in k die Funktion f (m) 

 in k! übergeht, so hat auch k! diese Form, nämlich 



k + > > - ', k k 



k! = k (2tc)' -A , 



wo nun noch die Konstante A zu bestimmen übrig bleibt. 

 Man setze kl 1 für k: 



k + 1 -|- 1 -4k k + 1 

 (k + l)! = (k+l) '(2*) " A 



und dividiere diese Gleichung durch die vorige, so wird 



1 



i k-i-i 



(2*) 2 



