— 319 — 



Die in den Gleichungen (a), (b), (c) gefundenen 

 Werte von A , A„, B n geben schliesslich die Bestimmung 



Cos 2n?rx C 4- log In _, Sin 2n7rx 



log r x = ' log 2.T -(- . 2' + — - — - — 1 — — 



b - - — n -T n 



1 v logn Siu 2q ^ x (o < x < 1} ^ (6) 



^ — n 



die Summen von n = 1 bis oo genommen. 



Aus dieser Gleichung lässt sich das Multiplikations- 

 theorem ebenfalls leicht ableiten, wie schon Kummer 

 bemerkt hat (Grelle J., Bd. 35). 



IV. Die Potenzreihen. 



Setzt man zur Abkürzung 



log7 T (l+x) = », 



so folgt aus der Definitionsgleichung 



k x -k! 

 /(1 + x) -(x-!-l)(x + 2)--(x + k)- 



ü = x log k + k! - log (x + 1) - log (x + 2) log (x + k) 



und die Ableitungen 



1 1 1 



v' - losr k - 



x + 1 x + 2 x + k 



1 s+ ^ + ^ 



(x + l)2 ' (x + 2) 2 ' (x+-3) 2 



V(x + 1)3 ' |x !- 2)» ^ (x + 3) :! T / 



(n) n , / 1 1 1 



t/' = (-l n!(- - + - + - — -+■ 



\ n n n 



\(x + 1 ) (x -I- 2) (x + 3) 



Man erkennt, dass zwischen den Grenzen o und 1 

 für |x| weder v noch dessen Ableitungen unstetig sind, so 

 dass v sich zwischen diesen Grenzen nach dem Maclau- 



