OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 81 



Bij de oplossing der voorstellen over de beweging van een vast ligchaam oui eene vaste 

 as en om een vast punt, heeft men slechts te letten op drie onbepaalde variatiën Sx , Sy , 

 5z. Daarom zijn er ook niet meer dan drie voorwaardes-vergelijkingen van de variatiën der 



derlijke grootheid denken; zij behoeft niet genoemd of uitgedrukt te worden, gelijk dit b. v. somtijds wordt 

 nagelaten in de variatie-rekening bij het variëren van ceno integraal. 



„In de plaats van dx komt dan Ar, voor 3*3 komt &-x, enz., zoodat men zal hebben: 



s *_|_y»+*> (I), 



(<+A*) 2 +Cy + A^+(~- + A.-) 1 (II)) 



(«■ + 2Ai + AV)'+(y + 2^ + A'rf ! +(--+2a-- + A 1 --) ! (III). 



„ Van deze uitdrukkingen moeten de variatiën nul zijn. Do eerste geeft 



2» 3x -|- 2y 3y + 2« 3z = (41) 



„De tweede heeft tot variatie 



2 (* + &x)(3x + JA*) + 20/ + Ay)(fy + 3 Ay) + 2 {z + &z)(3z -f S&z) = 0, 



„dat i-, op v ll lettende, 



2{Aa<?* + *<ÏAa: + Ay<ty+^Ay-|-A*<?2 + ?<ïAi} + 



2{£.x3&x + AyS&y + Az$A.z} = (i (A) 



„Worden nu Aar, Ay. Az steeds kleiner en kleiner, dan worden de termen, die in deze vergelijking 

 „als een tweede gedeelte van het eerste lid zijn genomen, en die van de derde orde zijn, steeds kleiner 

 „met betrekking tot de termen van de eerste groep, en die van de tweede orde zijn, zoodat, tot de 

 „limieten overgaande, alleenlijk blijft 



2 j èx Bx -f- xd 3x + fy 3y -\- y* Sx -\- iz 3z -f zb Sz } = 0, 



„maar er volgt niet dat 2 J dx d ax -j- dyddy -\- 03 dtfi j = zou zijn met betrekking tot de grens- 

 „waarde eener grootheid van do derde orde." 



Maar (dx 3x -\- xè 3x -\-by 3y-\-yi3y-{-iz 8z-\-zdSz) is niet onderscheiden van <> (x3x -J- 'J Sy -\-zSz). 



Derhalve zou de uitkomst alleenlijk leeren , dut 



d(x3x-\-y3y -{- zSz) = 



ware. Dit nul zijn echter behoeft niet bewezen te worden, daar het een gevolg is van hetgeen de vergelijking 

 (41) uitdrukt. Bovendien zou dan door de ontwikkeling van (II) niet meer of niets anders geleerd worden dan 

 reeds door (Ij bekend werd, terwijl er meer uit afgeleid moet kunnen worden Zou niet het begeerde verkregen 

 worden als men vooraf opmerkte, dat 



Lxox -\- s3 &x -\- £y3y -\-yo&y-\- &zSz-\- zSAz 



aan de limiet zal worden = d(x3x -j- y Sy -(- .* 3:), en daarom, op grond van (41), gelijk nul, zoodat dan, 

 aan de limiet, de vergelijking (A) zal overgaan in 



2[iïxï3x + 'dyd3y +ïzi3z) = 0? 



„Meetkundig beschouwd geeft het standvastig zijn van de uitdrukkingen (I), (II), (III) slechts te 

 „kennen, dat drie punten op de oppervlakken van drie verschillende bollen moeten zijn. Het al ol niet 



39 



NATUL'BK. VEHII. DEK KONINKI.. AKADEMIE. DEEL X. 



