4 OVER HET DIPPEEENTIBERBN VAN LENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN 



waaruit blijkt, dat men zijn doel heeft bereikt. De eerste herleiding (/?) toch geeft, 

 als men naar x tusschen de grenzen en x integreert, en de laatste integraal 

 in het tweede lid oplost, omdat de gedifferentieerde grootheid in het eerste lid 

 voor x = verdwijnt, 



ƒ' 



sin-*- l x . cos x 



Sin-".ed.r 1 r Sin-" •■ x . cos x 



(1— p > sin i x) b +\ " (1— p*)(2è — 1)L~ (l—p % sin xf-l 



+ 







f z si>t 2a :>■ J j f* sin ia xdx -i 



+ i ,J-p (J-1H1-/W " . . . +(2<7-36 + 3 ƒ , , e ] , .(I) 



1 J 'l — psmx) * J (I — psinx) h-i 



o o 



werkelijk eene herleidingsformule, waarin de veranderlijke parameter, hier de 

 exponent in den noemer, telkens met de eenheid verminderd wordt. 



Evenzoo kan men de tweede herleiding (■/) gebruiken. Omdat echter de in- 

 tegraal, die de hoogste macht van sin-x bevat, hier tot factor onder het in- 

 tegraalteekën zoude hebben sin 2a + i x, moet men eerst de a door a — 2 vervan- 

 gen ; dan integreeren tusschen de grenzen en x van x, waarbij weder de term 

 in het eerste lid voor x = verdwijnt; en vervolgens de laatste integraal in het 

 tweede lid oplossen. Langs dien weg verkrijgt men 



ƒ 



* sin-". r ds: 1 r-sin 2a ~ s x . cos x 



(l—ï/sin\if + ï ~ (2a-Zl—l)ir L(l— p 3 sm 2 *)*-i + 

 o 



, f x sin? a — z xdx f* si/i ia ~ixdx -i 



+{a+P-)(. + i)-^>«J o.^w-h -(»- 8 7 (I -^^rJ • • (II) 



o o 



wederom eene herleidingsformule, waarin nu echter de parameter, die telkens 

 met twee afneemt, hier de exponent van den teller is. 



De eerste formule (I) heeft tot eindintegralen, voor 6=1, 



/••* f* s/u 2 " 



ƒ sin* a xdx\/\—p*sin t x en ƒ —=====.. 

 f l I |/1— p*sin*x 



o ö 



Wilde men deze door de andere formule (II) bepalen, zoo heeft men als eind- 

 integralen voor a = 1 en a = 0, 



/ sin- xdx{\ — p' sin" x)±l en / d x 1 — f sin" x)±i. 



