12 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN 



Het is niet moeielijk, uit deze verkregen formulen tot meer algemeene uit- 

 komsten te geraken. Noem daartoe de bewerkingen 



en zij in het algemeen <& (x) eene rationeele functie van de wortelgrootkeid 

 V 1 — p 2 sin 2 x; dan volgt rechtstreeks uit de formulen (ï), (i\) en (/ 3 ), ((?), (k) en (kj, 



IQ.P.Q . . . Q.P.Q]E(p.x)=F(p.x) +8i»x.cogx.$(x) i (? 8 ) 



[P.Q.P . . . QP.Q] E(p.x) = E(p.. r) + siu.i .COS X.$(x) (; 4 ) 



[P.QP . . . P.Q.P]F(p.x) = E(p.x) + sinx.cosx $(*), (* a ) 



[Q.P.Q . . . P.Q.P]F(p.x)=Flp.x)+sinx.coax.${x) (* 3 ) 



Maar langs dezen weg ziet men niet in, wat de algemeene vorm van de functie 

 $(z) worden zal, en de vergelijking dier functiën zoo als zij in de formulen (/j), 

 (/ 3 ), (k), (k{) voorkomen, geeft hier geen licht; ook niet, wanneer bij het uit- 

 werken der bewerkingen, de gelijknamige termen niet bij elkander telt, zoo als 

 hier boven is geschied, maar ze gescheiden houdt, onder gedurige toepassing der 

 duidelijke herleidingsformule 



y*sin~x 1— (1— p *sin*x) l 1 



2 *+ x — ,/ï „a.,.a «*-H — . /i . a •« J *+l ~" . 7\ _«..•.«_ «*-" 



|/1— fmfix'"* 1 \/l—p*sin*x^ 1 |/1— f"»»*»"* 1 " 1 |/l-p««/.8 



V<?) 



ten einde de grootheid tusschen de vierkante haakjes, in het tweede lid, telkens 

 tot functie van alleen y/\ — jfishfix te herleiden. 



Zoodra men echter later overgaat tot compleete elliptische integralen, dus tus- 

 schen de grenzen en ju genomen; dan wordt dit bezwaar geheel opgeheven, 

 omdat alsdan de $ (x) in het geheel niet meer voorkomt. Zij zelve kan toch nimmer 

 oneindig groot worden, en de factor sin x. cos x wordt gelijk aan nul, zoowel voor 

 x = 0, als voor x = \ n ; vandaar dat die laatste term in de vorige formulen ge- 

 heel verdwijnt. 



7. Wanneer men nu dezelfde beschouwingen wil toepassen op de diflerentiaal- 

 formulen, die in § 5 voorkomen, stelle men eerst ter bekorting 



\'\ 



+7 lW-^==) -*(-=?==.£-.) 



= E 2 ' . (.) 



