NAAK DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 15 



onbekend is. Zoodra men echter later tot de grenzen en ^ overgaat, zoodat 



de elliptische integralen compleete worden met den modulus ( . A wordt 



dit bezwaar weggenomen, omdat dan die functiën van onbekende zamenstelling 

 niet meer voorkomen wegens den factor sinx.cosx, die evenzeer voor x = 0, 

 als voor x = in verdwijnt. 



8. Men kan echter tot geheel andere, niet minder belangrijke, uitkomsten ge- 

 raken, door de vergelijking («) nog eens naar p 2 te differentieeren ; en daarbij 

 gebruik te maken van de reeds gevonden eerste differentialen naar de formulen 

 (o) en (b). Aldus verkrijgt men 



d? — 1 1 ,_ l 1 



f l/l — p z St?f.r J 



1 g( i_p8) +p 8 1 + (1— p*)ain*x sin x. cos x 



=w H ?- x) —ï7v^W E{v - x) + T^^Vfi^' " • ' (F) 



en verder, door middel van de formule (a), ten einde de overgebleven F{jj.x) te 

 elimineeren, 



2 — p 2 \ 1-f fl — p 2 )sin".v sin. r. cos. r 





p 2 1 — |— (X — p 2 ) sin z x sin x . cos x 



E(p.x) + 



*P 4 C— P 8 ) l/l— p8«»8ir' 4p2(l— p«j' 



en hieruit volgt ten slotte 



r „ „ d 2 r/ -, 1 + (1 — p")sirfix 



L a(p 2 ) d(p z j - 1 j/1— p*sin?x 



[ sitfi x 



~ l/l S ~ + ^ 1 — P 2 -v»' 2 * 



\V 1 — p-sin- 1 ,r 



SM .r , cus ./•; 



(PW 



waarbij met voordacht is afgezien van de nadere herleiding van den goniometri- 

 schen tenn, zooals die in de formule (i) is toegepast. Want nu kan men ge- 

 makkelijk n — 2 maal differentieeren, het eerste lid volgens het theorema van 

 leibnitz, en het tweede lid naar de bekende formulen (zie o. a. mijn Overzicht 

 der Dififer. Rekening, bladz. 33, 34). 



