28 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN 



Vervolgens neme men n = 3 in de vergelijking (s), dan is 



r d 3 tfi r] 



sin 3 x . co* .<• 

 = - r, è {— Sm»* + (1— p*sm*x) + 2(1 — ,»»««»*)»}. 



Evenzeer volgt nu uit de vergelijkingen (r) en (è) achtereenvolgens 



- 8(1- 2p 2 ) — F(p.*)=z —8(1— 2p 2 ) — F(p..v)— 1 E p.s ~ 



1 'd(ff U ' K L J L4/;1(1— p 2 ) lP ^ 2p*(l — p 2 ) 2 / 



*?'« a' . ces * -i 



- — — - j^— ===— {(l-p 9 )-(3-4p 2 -p*, (I-p»**»»*) +2(i- P »)»(iy« , *)>)} 

 *P l 1- P J y l—p^sin^ar - 1 



9 ^) f ^-*) = V^I-' 1 -f')^*>+ £ (''-')-' , l ^S{» , *+( 1 -P w *»!]- 



Door middel van deze vergelijkingen verdwijnen de twee laatste termen uit het 

 eerste lid; wanneer men daarop door 4p 2 (l — /> 2 ) deelt, komt er 



d 3 ^_ S— 23/; 2 + 23p 4 a+2p a — 3p* sin*. cos* j 3 (1 — p~f 



d{p*)* {P - } "' Z 8p6(l- p2)3 - (/ '" r, ~8pö(l— p s ) s ^ ' r,_ 8 ? «(1 -p 2 ) 3 V l_pW;/ + 



(3 + pg)(l-^) 9-42p 2 + 32 p* + V ^^ ^^j 



+ , ,, o • o - T + ,, . , , - : — (!— PV(*>— Sr)[/1— p 8 «»»* • • («c) 



12. Wat betreft de elliptische integralen van de derde soort, bedenke men, 

 dat zij slechts van die der eerste soort verschillen door den factor (1 — nsiirx)— 1 

 onder het integraal teeken ; daar deze factor geene p bevat, hebben de bewerkin- 

 gen van de vorige paragrafen daarop geen invloed ; en is men derhalve voor deze 

 integralen der derde soort teruggevoerd tot de vergelijkingen voor de functie F(p.x). 



Vervolgens kunnen wij nog het integreeren ten opzichte van de standvastige 

 l? beproeven, maar dan verkrijgen wij, door verwisseling in de orde van het 

 integreeren, hetgeen hier geoorloofd is, 



jd(p*)E(p.z)= j *,. Lr ƒ tf(pVï=pW*= j '**~y ÏI^^-^l'VT^pJ^r 3 — 



o o o 



/ d&)F\p.*)= I 'd, I J(p*j \ = r<te=£|/i_p8 m *r=-2 /V ï=p 



J ƒ / t l-p 2 sm 2 .r J -Wi~x r J 



>$sin"j~ 



sin~.r 



