IIEKLEIDING VAN EENIGE INTEGRALEN. 



11 



d k cos 2 ,» + 2 1/ 1 _ X-2 siifi x . cos^ x 

 , L 



d(k^) 



2 + /c 

 1 



i-r 



'2Jilkcos2x+ 2 j/ 1—^2 sin^x . cos^. 



.1 



cos 2 .1- + 2 . I 



— 2k sin^ X . cos^ x 

 \/\— k'^ sin^ x . cos^x 



9.4-kJ 



2 + k 



•.2x.[/l~k^ sin^ X . cos^x — {l-\-2k sin^x . cos^x) 



'k{2 + k)\/l— k^ sin^ X . cos^ x kcos2x -\- 2\/l — ]fi sinP- x . cos^ x 



of, wamieer men den tweeledigen noemer met den vorm — hcos2x-\-2[/ 1 — khin^x.cos^x 

 vermenigvuldigt, zoodat deze 4 — k^ wordt, en de teller den factor 2 + k verkrijgt, 



= k(4-P)^/l-k^,in^x.cos^x i^os2x-^l-k^sin^,.eos^x} ; 



d{k'~) 



\/ \ — k'^ sirfi x . cos'^ x 



2 j/ 1 — k'^ sin^ X . cos^ x 



Voor jo = + r" heeft men evenzeer --—- = - — :; — , en daarmede 

 ^ d{r^) 2rd{ry 



d{r^) 



. L {r sin x .cosx -\-\/ i J^ r^ sin^ x . cos^ x) = 



'2rrsirix.cosx+i/l+r^sinh-.cos^xy""^"'"'"' ' '^\/l+r^sinh:cosh- 



sinx.cosx+l 



2 r sin^ x . cos^ x 



sm X . cos X 



^>'\/ 1 -\-r^sinh:cos^x 



rf l„ . r ^ .rcos2x) 1( 1 co,'! 2 a; ) (i + r^)- h(2r) 



— - . Basin , -„-Bgsin , ^ = — / ^ -^ \ -i 



d{r^)\ ' 1/4 + ^2 l/4+rH 2rL / W ^ / A^^I^öi;} 1^4 + /2^ 



^ ~4. + r^ ^ ~4 +r3 



('OS 2 X 



'r(4 + r2)|l/4 + r2— r- \/ ^-\-r^—r^cos""2x\ r[/4+r^\ \/l+r^siu- x.cos^x 



cos 2 X 



d{r') 



[/l -{- r^ sui^ X . cos^ X = 



2 |/ 1 -|- ?-2 si)i^ X . cos^ X 



Daarbij komen nu nog de volgende uitkomsten — zie mijne „verhandeling 

 over het differentiëeren van eenige elliptische Integralen naar den modulus of 



20* 



