24 HERLEIDING VAN EENIGE INTEGRALEN. 



* = » 1.1 . / j -.1. -,1. r Irza 



Deze formule (IIPi of (IIP) geeft dus de ontwikkeling van onze integraal /« 

 in den vorm van eene reeksontwikkeling, terwijl de formule (III*) den symbo- 

 lischen vorm, en de vorige (III) den wederkeerigen vorm aangeeft. 



Voor onze vroeger gevonden uitkomsten, in zoo verre zij niet alleen k^ of r^, 

 maar ook k of r bevatten, zijn deze formulen weinig gemakkelijk in de toepas- 

 sing, omdat de formule vp ^= 771. TT. ^^P- ^'^^ voorde eerste differentiaal, maar 



d"I 



niet meer voor de hoogere differentialen, geldt. De hoog-ere differentiaal 



c?(P)« 



zoude dan zelve door eene som algemeen kunnen uitgedrukt worden ; maar dan 

 zoude de uitdrukking (III'') eene dubbele sommatie geven, hetgeen in het gebruik 

 altijd veel omslag geeft. In het geval dus, dat men eene ƒ„ te berekenen had, 

 zoude het veeleer aan te raden zijn, de /^ uit de Ii af te leiden uit de gevon- 

 dene uitkomsten in de laatste nummers, dan op die zelfde wijze voort te gaan 

 tot /g , en zoo voorts: dat is, lid voor lid, de formule (IIP) te gaan uitwerken. 

 9. Men kan ook langs geheel anderen weg tot de vorige uitkomsten geraken, 

 en wel door de substitutie 



ir -2 9 1 + JP 



i -f- /j siti'' ,r . cos^ X ■= ; — — • 



\ -\- p sirfi y . cos^y 



Dus geeft toch achtereenvolgens 



■ 2 " I '"*" 2 ,(/ cos 2 y 



sui'^x . cos-w = ^ ^-^ — . sin2x z= — : , 



1 -|- p sin" 1/ . cos^ y 1/1+ psirfi y . cos^y 



cos^ 2 y 



4 



sin* X — srn'' x =z — J — := cos* x — cos^ x , 



1 -\- p sm^ y . cos^ y 



sirfi X 

 cos^x 



I , 1 1 /~. w«2 2y 1 _u 1 • 1 /■ ^ + P 



i±\y 1 — -— — — — i ± k s,ny.co.^ij.^/ — r-^ 



1 -^ » SI?/" Il . cos u y l + p iiin~ V . 



cos 2 a- z= .n>! ;/ . cos 



1 -\- p sivy . cos'' y V \ -f- p stn~ y . cos-^'y 



4 4-/) 



y 



l^r 



-|- p sin^y . cos^ y 



2 sin y . cos i/ . cos 2 (/ . l/4 -\- p 4 col^ 2 y 



sin 4 :r = ■— ■ , , tonff^ 2 x = - : 



1 -|- ;; .«ïw/* 1/ . cos'^y 4 + /> 



zoodat dus y — O overeenkomt met a; = | tt . 



