38 



HERLEIDING VAN EENIGE INTEGRALEN. 



— - 5!7 sin {/c sin x . cos x) — sin x.cosx.\/l— k^ siiy' x . cOi'~ x l = 

 k~ \ k 



=-i 



sin^ X . CO"! A X dx 

 1 — k^ sin^ X , cos- 

 cos^ X . cos ix dx 



stn^ X . stn A X f sm^ x .coiAx dx fs/n^x.co 



VI — k^sin^x.cos^x J^^ — k^ sin^ x , cos" x * J ^^ — 

 cos^ X . si ft 4 X 



sln^x.cosx.sitii x. cos 2 x 



k^ sitfi X . cos^ x^ 

 3, 



</« = 



l/ 1 — k'~ siifi X. cos^ X 



f coa^ X ,cos4lX dx f sin x . co\\v . sin 4:X .cos2x 



:. + j yflZicï sin2 X . cos^ x "^ ^ ^ ] V \—k"" sin^ x .cos^x^ ^^' 



Hare som geeft de laatste van liet vorige drietal terug: maar haar verschil 

 levert ons 



sin 4 ;(• . cos 2 x f cos4:X dx f sin x . 

 O — 1 — — j. I — — I 1 /^i I 



l/l — k^ sin^ X . co!>^ x / l^ 1 — ^^ *'"® * • cos^x ^ J V \ 

 en nu volgt met behulp der vorige integraal (72) 



ƒ 



'sin X . cos X . sin 4 x . cos 2x 

 ■ k^ sin^ X . cos^ X 



dx , 



'sinx.cosxMnAx.co'i2x ^ 1 i ,„ ,<,>^^, ,, , , „. siuAx .cos2x 



.(89) 



V^^r^ 



nin" 4 X d X 



k^ siri?' X . co4^ x 



(90) 



12. Op dezelfde wijze kan men nu de overeenkomstige integralen met den 

 noemer i/'l -f r'^ sin^x .cos^x terugvinden. Dit is echter onnoodig ; maar het kan 

 goed zijn, de nieuwe overeenkomstige integralen af te leiden. Derhalve vindt 

 men door het gedeeltelijk integreeren der integralen (9") en (10") 



^/4 + ,•3, 



l\i 



^ \ 



-E\ 



1/4 + 



>'2' 



- \F\ 



>'W 



i + rr 



-F 



4+rS'^ ; 



V/4 + 



= L{r sin x . cos x + [/ 1 + r^ sin^ x . cos^ x) = — 



1/4+ 



sin X . cos 2 x 



+ 



1/1 + 



r^ sin' X . COS'' x 



■ cosx + 



f [cosZx — sin X . sin 2x — r^ si7i~ x . cos x . cos^ 2 x 



+ ; cosxdx \ , + — =;— 



} \{/\ J^r^ sitfi X . cos"~ ;ï \/\+r-^ sm- x . cos"" o.- 





2r L| y4,^r~j \l/4 + 



— F 



-ln-2x]- 



V4 + > 



—E\ 



1/4 + r 



,,i7r-2,r + 



+ 



■ / ■ g L {r sin X. cosx + J/'l + r^ niti^ x . cos" x)] = —r= 



cos X .cos2x 



+ r^ sirfi X . cos^ x 



f , — sinSx — cos X. sin 2 X — r^ sin x . cos^ x . cos^ 2 x 

 — ƒ sin X d X — — + 



»/r+ 



r^ sin^ X . cos^ x 



1/ 1 + r^ sin^ X . cos^ x 



