HERLEIDING VAN EENIGE INTE6KALEN. 41 



-rlr Ba sin {\/ 1 + r^ sin^ x . cos^ x — '•'os 2 .r) -|-2^2i/l-|-^3 sït?' x . cos^ x \ = 



sin^ X f 1 3 sin^ X . cos X — r^ sin'^ x . cosx . cos2x | 



= ./Il g ■ a r- *^^ *' ~~ ƒ *"' *' '^ •'^ . /1 I 2 • a 2~ + ./ i I 2 ■ 2 g ' 3 ' 



[/ l-\-r'^sin-'x.cos^x J [v l-\-r'^ sin'''x .cos'''x y i -f- r'^ sin''' x . cos'^ x ] 



— r Bg sin- — —„ (j/l + r^nn^x.cos^x — cos 2 .)■) — 2 + 2 l/l + r^ siu^ x . cos^ x = 



(cos^ X \ f 1 — S cos^ X . nin X — ?-^sinx.cos*x.cos2x 



./ 1 ■ 2 ■ 2 T •"'**" M + ƒ '^''**' '^^ ./Il 2 ■ 2 =r"^." 77, 2-2 "T^S 



V l-\-r^s?n'''x.cos^x j J [y l-^r^suf^x.cos'''x y 1 -{- r^ sin''' x . cos*x 



4^2 



In deze herleidingen komen dezelfde integralen (15") en (16") wederom voor; 

 wanneer men dus hare waarden substitueert, is 



ƒ 



sin^x .cosx.cos2x 1 ( 2+r^(l4-coi>^x)siu^x 



s dx= — 1 2 — ^ ' ^ 



yl-\-r^ sirfi X . cos^ x r^ ( l/ 1 + r^ si'n? x . cos^ x 



2\/l+T^shv^x.cos^x-\-rBgsm- -{\/l-\-r^sin^x.cos^x —cos2x)\ , . . . . (79«) 



4-f-»' ) 



/siiix . cos^ x.cos2x 1 ( „ 2 + r\ 1 4- » ii^x)cosh^ 



v/l -^ r^ sin^ X . cos^ x^ * "~ r^^ T ~[/l + r^sin^ x.cos^~x 



2r I 



— 2\/l+r^sin^x.cos^x —rBgsin -{y'1+r^sin^x.m^x ~cos2x)\ ; . . . . (80«) 



4:-\-r^ \ 



terwijl dezelfde integralen (15") en (16"), langs een dergelijken weg, zooals bo- 

 yen, ook tot de uitkomsten (76") en (77") hadden kunnen voeren. 



Wanneer wij nu overgaan tot het tweetal (20") en (21"), zoo stelle men 

 vooraf in de eerste cos^ x ^= l — shfi x =2(1 + cos 2 x) en in de tweede 

 sin^ X ^\ — cos^ a; r= I (1 -\- cos2 x) ; wanneer men dan daarbij gebruik maakt 

 van do integralen (7") en (8"), dan verkrijgen wij 



.,in—2x 



f shfixdx 1 r- o a\ l ' \ 1^1 '' 



] »/ 1 +rhiH^'x^'^r ~ 8 r2 1/4+^2 1_(3 +»■ ) 4 | ^ ly JTp j - ' [i7T+^ 



—{A+r'~yi\i:(-y^^^\—E{-.L^i7T—2x\ ! +2\/ï+:;:^smx.co'x.[.''l+rhi}ih\cos'^x-~ 

 ( \Vi+r^l \\/4+r^' j) 



(1 +2r"~)i/ 4+72 L (;■ sin x . cos x + \/l-\. r^ si?t^ x . co>^ x)! , (81") 



r J 



24 



NATUÜEK. VEEH. DER KONINKL AKADEMIE. DEEL XXÏ. 



