46 HERLEIDING VAN EENIGE INTEGRALEN. 



Hiervan levert de som cos*x — shi'^x ^ cos2x de reeds gevonden integraal 

 (95) : het verschil daarentegen 6 sin^ x . cos^ x — [sin'''.T -\- cos* -r) = 8 sin^ c- . cos^ x — 1 



vordert de integraal I F(hk,2 .r) dr-, ware deze bekend, dan zouden dus ook de 



integralen I sin^ .r .cos^x.F{-:k,2:t-)da' i=: ^ j sin"2r . F{ik,2 a^ dx-, en evenzeer 



ïsin*oi'.F{ik^2x)dx en lcos*x.F{hk^2a-)dx^ te vinden zijn. Wendt men zich 

 nu eerst tot de integralen (81) en (82), zoo verkrijgt men 



(sivKr.cosx. F(i/,2.r)rt',r = ^ 1(3 — /i^ + 'èk^ fiu'^ x) F {'^ k ,2 .i)~i E (k i , 2 x) + 



J 24 F I 



-\- sin X . rosx .[/l — k^ sin^ X . coi^ X (1 — 2 k^) Bff sin {k .1771 x . cos x) , (97) 



K 



8/// a-. .0*5 ,,. . ]?Q k,2x) (lx = — ^, I 3 ^(U- , 2 ./)— (3 — /2 + 8 k^coi.^ x) F{kk,2 x) -|- 



ïain X . .0*5 X .Fnk,2x)(l x = 



J V- ' / 24/2 I 



-^ sin X.COS X .[/l— k^sin^x. cos" X {l—2k"~)Bgsiu{ksinx.cosx)^ (98) 



En nu kan men zich tot de integralen (20) en (21) -wenden; hierbij heeft 

 men immers 



irr 4 iitfi X . cof,^ X — 2 sih^ x .cosx en ^ — 4 si)fi x . coifi x -\- 2 sin x . cos^ x. 



(lx (lx 



Uit beiden vindt men dus nu, met behulp der vorige uitkomsten (97) of (98), 



1 



ƒ 



sitfi X . cos^ X . F{k k, 2x) dx 



24/2 



(-1—12 sirfi X . (0.>* a' — 8 fo/> x) k^ F{\ k ,2x) — 



• — sin X .cosx .[/l — k^ sin^ X . cos^ X -f-— (1 -\- k^) Bg sin {k sin x .cosx)) (99) 



De integraal (23) levert het volgende diöerentiaalquotient 

 d<f{x) 



dx 



■= 2 sin4 X.COS 2a; + 4 siri2 x.coAx z= 4.«»/2« . {cos-2x-\-cos4!x) = iiia 2x . {Zcos^2x — 1) = 

 2 .'/w 2x .(\ -\-Z cos 4 a-) =: 3 sin G x — sin 2 .r ^ 6 sin 4 x .cos2x — 4 sin 2 x. 



