HEELEIDING VAN EENIGE INTEGRALEN. 47 



Dewijl de integraal met den factor sin 2 x door de uitkomst (99) bekend is, 

 leveren deze verschillende herleidingen de volgende uitkomsten 



/ s{n6.r.F{f, k, 2 .v)d.r = — \{l—cos4x)ihos2.z:mk, 2x) + 8sin x . cos .r. V \—k'^shfi xxos^x— 



2 1 

 — -7(4 — k'^)Bg sin(ksinx .cosx)\^ (100) 



sin 2 x.cos"- 2x.F(U,2 x) dx = — 2.sin x.oos x. (/ l _^-3 dA.cos^ u;—i^cos^2 x.F{^k,2x)— 



2 „ . . I 

 ( 1 — k") Bff sm {k sin X . cos x)\ , (101) 



2 



-- (2 + /:-') Bg sin {k sin x . cos x) 



\siii2x.cos4.x.F{\k,2x)dx=^—Y\+2si,fi2u^khos2x.F{hk,2x)+4:sir,x.co.'.x.x/ 



(102) 



jsin4x.cos2x. F{^, k,2x)dx= ~\2<ln x . cos x. \/l-k'^ si,i.^x.,os^x-k^cos^2x.Fi;^ /t,2x)- 

 — 7(1 — k") B ff sin (k sin X.COS x){ (103) 



Op dergelijke wijze vindt men ook in het algemeen 

 L{x) dx^/l-i^^si>fi^.cos^x = i q>{x)E{^, k,2x) - i JFi^i,2x) '^dx. . ...(/>) 



Er zijn slechts enkele onder de gevonden integralen, waarop dit theorema 

 eenvoudig kan toegepast worden. Nemen wij daartoe de integraal (17), dan wordt 



\sin2x.E{\k,2 x) dx= \ sin x . cos x. y' 1 _ ^a ^i>,2 ,,,. ^^^2^. — — 5y sin {k sin x . cos x) — 



/ 2 K 



— 'i cos2x.E{\k,2x); 



(104) 



en deze zelfde uitkomst zouden de integralen (18) en (19) ons evenzeer gele- 

 verd hebben. 



Wanneer men dezelfde methode wil toepassen op de integralen, die 



