48 HERLEIDING VAN EENIGE INTEGRALEN: 



l/[—k-sin^x.cos^x^ in den noemer bezitten — en tot deze soort behooreu de 

 meeste der gevonden integralen — zoo vindt men 



f l/ 1 — ^^ sin^ X . cos^ X 

 = , ,. o ^.Fak,2x)- Fiik^x)] 7^ +frj:r-, j-^C-^) K-^^ 



l — k"sni"x.' üs^x I [ ax \—k'''sin^x.cos~x [i-k~'siif'x.cos~xY ) 



= r~7V^ r-^(^^-2.r)-ff(U,2;r) ƒ/ — ^ ^i_^2,i„2^.,o«2;r)^^ + 



1 — k'sni-'x.cos^x J (1 — k^ sur X. cos^ xy dx 



+ /t^ «Z'w J' . cos X . cos 2 X . <f) (x) ! (c) 



Hier, bij de vorige integralen, is in den regel ijp (.») ^ sin" x . cos'' x, dus 



dep (.r) . 



, ^ sin"^^ X . cos''-'^ X . {a cos"-' x— b shr' x) ; dus de grootheid tusschen haakjes 



onder het laatste integraal teeken 



(1 — k"^ siri^ X .cofi^x)siii<'-^ a^.co** — ' x. (acot,^ x — Ijsm^ x) -\- k^ 8111"+^ x .cos^ + ^ x. cos2x^ 

 zzisln" -'^x.cos''-'ix.{ücos^x-fjsi>i^x) + ^/{•2sm«+V.cc/s* + 'j\ {2co«2a; + 'y(l-co*2.r)-6(l+cyf2.r)) = 

 =:«/««—';(• . cos'' - 1 .r . (<; co.s^ x~ b sirfix) -|- \ k~ süi''+ 1 x . co.s* +'.(' . ((';— a)—(h-\-a—2) coi'2x') =: 

 = I 4/«"-l X . von'> - 1 .T . [2 cos 2 X —[{b — a) — {b -\- a — 2) cos 2 x] {\ — /r' sirfi x . eos^ x)]. 



Men houdt dus in den regel onder het integraalteeken drie integralen over, 

 eene met den noemer ( l — k^sin^x.cos~xf, en twee met den noemer (1 — kHin^x.cos'^x) 

 zelven. Deze herleidingen zullen dus weinig opleveren, tenzij h ^ a zij ; door 

 deze onderstelling wordt de laatste vorm eenvoudiger 



= sin"—^ X . cos"-'^ X . [cos 2 x + (a — 1) 'w\ 2 x . (1 — k'^ si)fi x . eos^ ,r)]. 



Hiermede geeft nu de integraal [c] 



f sin" X . cos" X cl X sin" x, cos" x 



j \/\~k'^sin2x.cos^a^ ~ l - k^ s?„"-x .cos^ x ^^^ ^ ' ^ "'^ "~ 



ƒ.•(/?(«— l.r.co.sa—'.r.co.v2,r [shi"—^x.cos<'—'^x.cos2x ^, , , „ , , , ., 

 n YT^^ —:F{ik,2x)Jx-{a-\)\ —F{hh,2x)dx-,.{d) 



(1 — i'^ sin^ X . coa^ x)^ J ^— k' sur x .cos^x 



