i69 



an numero intero, la serie corrispondente alla A'=i— A: parrebbe si 

 dovesse espellere , stantechè la legge dei coefficienti li rende infi- 

 niti, partendo da un certo termine. Ma l'autore dimostra che si pos- 

 sono sopprimere i termini , che addivengono infiniti , e che i rima- 

 nenti si possono porre sotto forma finita. 



Appresso passando a determinare l'integrale completo del- 

 l' equazione (2J , trova esser composto di due serie, i cui coefficienti 

 seguono la stessa legge di quelli dell' equazione precedente , e con- 

 tengono i medesimi esponenti k', h! . Per la qual cosa dimostra go- 

 dere quella serie consimili proprietà a quelle esprimenti l' integrale 

 della (i). Oltre di che in questo caso se le radici k, li risultano po- 

 sitive , allora r integrale si ottiene sotto forma finita mediante gli 

 integrali duplicali. Il che ne offre una nuova circostanza in analisi, 

 cioè , che r intregale tenga due funzioni indipendenti , quandoché 

 una sola ve ne ha nella serie. Ma questa difficoltà risolve l'autore os- 

 servando, che svolgendo le due parti dell'integrale giusta le potenze 

 della variabile t , le due funzioni arbitrarie si riducono ad una 

 sola. 



Per ultimo vuoisi dire che è di non lieve momento 1' intregale 

 della (i), servendo a determinare ; siale leggi delle picfcole oscilla- 

 zioni di una catena pesante omogenea di egual diametro sospesa ver- 

 ticalmente alle sue estremità ; sia le leggi delle onde sonore ugual- 

 mente intense. 



Trattò ilsig. Cauchy in parecchi suoi Opuscoli degl' integrali 

 definiti presi fra due limiti reali , e mostrò come un integrale defi- 

 nito , qualora la funzione o coefficiente differenziale addivenga in- 

 finita fra i limiti dell' integrazione , abbia una moltitudine di valori, 

 fra' quali ne distinse uno che nominò valore principale. Ora in altra 

 sua memoria letta lo scorso febbraio alla Reale Accademia delle 

 Scienze di Parigi, viene applicando i principii sopra indicati agl'in- 

 tegrali estesi fra i limiti immaginarli. La quale materia fu svolta 

 anche d'alcun altro Geometra , e particolarmente dal Laplace : ma 

 quivi l'autore trattala con maggiore generalità , e ne fa conoscere il 

 numero dei valori, che spettano ad un intregale definito; quando si 

 estenda fra i limiti immaginarli. E cosi fatte indagini , che hanno 

 fondamento nella dottrina degl' integrali singolari , e nel calcolo del- 

 le variazioni conducono a formule molto acconcie ed universali sì 

 per la valutazione, sì per la trasmutazione degli intregali definiti. 

 Noi qui avremmo volentieri riferito il sunto , che di questo impor- 

 tante lavoro ci ha dato l' autore (V. Bulletin Mathétt. Avril. i825}> 



