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nel circolo un decagono regolare, e per tale risolozione ottenato dae 

 radici, come agevolmente si può ricavare, stimò bene dire nuova- 

 mente come i'una di quelle radici somministri il cercato poligono , 

 e l'altra un poligono che in rispetto al primo diventa stellato, al che 

 aveva benanche posto mente il suilodato Poinsot (5) : pari considera- 

 zione fa pure sul pentagono, la quale apertamente discende dal teore- 

 ma, che il quadrato del lato del pentagono eguaglia la somma dei qua- 

 drati descritti sul lato del -deca gonoesul raggio del circolo in cui stanno 

 inscritti essi poligoni. Ma la dottrina dei poligoni stellati non sarebbe 

 forse inutilespiegaria eziandio negli elementi di geometria. Per la qual 

 cosa ne piace proporre agli studiosi di questa scienza il seguente pro- 

 l3\em.n: determinare colla sintesi i poligoni stellati rispondenti a cia- 

 scuno dei poligoni regolari, che si possono inscrivere in un circolo colla 

 elementare geometria. E dichiariamo d'intendere i poligoni composti 

 di un numero di lati espresso dalle serie cognite altresì agli antichi 

 3.2", 4--"i 5.2", i5.2", dove « si può farez:o,i,2,3, ec. ; perchè , seb- 

 bene siano iscrivibili nel circolo anco i poligoni di tanti lati , quante 

 sono le unità dei numeri primi rappresentati dalla formula a"*'"^! , 

 siccome scoprì il sig. Gauss {6};oulIadimeno sinora noi non conosciamo 

 alcuna geometrica costruzione per iscrivere in un circolo i poligoni 

 regolari di 2^-J-i , 27-[-i , ec. : il che merita pure l'attenzione dei 

 geometri. 



Le formule , che si sogliono dare per laftrasformazione di una 

 potenza qualunque del coseno e del seno di un arco respettivamente 

 pei coseni e pei seni degli archi molteplici , non possono servire nel 

 caso dell'esponente fratto , il che fu osservato dal sij}. Poisson (7). 

 E perchè questo punto di analisi ha suscitato qualche discussio- 

 ne (8) ; cosi questo illustre geometra ha impreso di nuovo a trat- 

 tarlo , all'effetto di renderlo pienamente lucido (9). 



Posto u:=icos.x-\-sen.x 1^ — i , vzzcos.x — sen.xf^ — 1 , col mezzo 

 della formula di Moivre , cioè {cos.x-\'Sen.Xf'^ — i)'"rzco5.ffix-j-5en. 

 nixi^—i, subitamente si trova la formula generale esprimente 

 tT^C'is.'^x , che diremo (F) , composta di due parti; I'una è la 

 serie dei coseni degli archi molteplici di x, l'altra è la serie dei 

 seni delli stessi archi moltiplicata per f^ — i. Ctie se si abbia //» 

 numero intero , si fa sparire la parte immaginaria , e si ottiene 



(5) Mèmoires de V Académie des sciences. Tom. IJ/ . pag. 156. 



(6) y. Disquisitioiies Aiithmeticae. Lipsiae , i&oi. 



(.1) V. Correspondance sur l'école potyteciiique tom. III. pag, 2i2. 



(8) V. Lacioix Traile de cale. diff. et intcg. tom. III. 



(9) V. BuUetin des sciences malh. septembrc iSaS.pa^. 140. e seg. 



