Zahlentheorie der Tettarionen. 71 



durch ausschliessliche Anwendung der rationalen Operationen ein 

 fi-Tettarion a = B («''>, «''', .... a<°') abgeleitet ist, dann soll, wenn 

 genau dieselben rationalen Operationen auf die entsprechenden Tet- 

 tarionen ä''>, ä<->, . . . ö'°' angewandt werden, stets auch das dem a ent- 

 sprechende Bild ä = i2.(ä*", ä'^\ .... «*') entstehen. Eine solche aus- 

 gezeichnete Substitution heisst „eine Permutation" des Körpers {Ä"}. 



Ordnet man jedem fi-Tettarion « eines Körpers nach einem be- 

 stimmten Gesetze ein Tettarion / (a) zu, so heisst die Substitution 

 («,/(«)) „eine Permutation des Körpers", wenn durch Anwendung 

 dieser Substitution jede rationale Gleichung zwischen ft-Tettarionen 

 des Körpers in eine richtige Gleichung übergeht. 



Da die Subtraktion eines Tettarions auf Addition des entgegen- 

 gesetzten, und die Division durch ein Tettarion a auf Multiplikation 



mit -j^r— hinauskommt, wenn von einem bestimmten Quotienten über- 

 haupt die Rede sein kann, da anderseits jede rationale Operation sich 

 aus einer endlichen Anzahl von Additionen, Subtraktionen, Multipli- 

 kationen und Divisionen zusammensetzt, so leuchtet folgendes ein: 



Die Substitution (a,f(a)j ist stets und nur dann eine Permutation 

 des Körpers {K}, -wenn die Tettarionen f (a) nicht sämflicli Null sind 

 und ferner die beiden Gleichungen bestehen: 



f{a + b)=fia)+f(b) 



f{a-b)=,t\a)-f{b) 



unter a und b zwei beliebige jt-Tettarionen des Körpers {Ä"} verstanden. 



Durchläuft a alle ft -Tettarionen eines Körpers, so bildet die 

 Gesamtheit der Tettarionen / («) wiederum einen Körper. 



4. Neben den soeben definierten Perniutationen hat man hier, 

 wie überhaupt in Körpern bei Zahlsystemen mit nicht kommutativer 

 Multiplikation, noch eine andere Art von Substitutionen oder Abbil- 

 dungen zu betrachten, welche nach Hurwitz „Inversionen" genannt 

 werden (v. dessen „Zahlentheorie der Quaternionen" § 1). 



Bedeutet t jedes ft-Tettarion eines Körpers, so soll die Substi- 

 tution [t,f(t)j „eine Inversion des Körpers" heissen, wenn die 

 Tettarionen f(t) nicht sämtlich Null sind und ferner, für je zwei 

 ju -Tettarionen a und b des Körpers, die Gleichungen gelten : 

 /(a-rt) =/(«)+/(&). 

 ,na-b)=f{b)-f(a). 



Aus § 3, 1 folgt, dass die Substitution {i, t') wo t' das zu t 

 transi)onierte ji-Tettarion bedeutet, eine Inversion ist. Man erkennt 

 nun ohne weiteres: 



