Zahleiitheoric der Tettarioneii. 79 



Da N{t) = N(_r) durch das Produkt derselben ausgedrückt wird, muss 

 bei nicht verschwindender negativer Norm eine dieser ix, x negativ 

 sein, und hierzu kann man, vermöge der £<'■"*, die letzte wählen. 



Anmerkung: Man sieht ein, dass an Stelle der Haupt- auch die Neben- 

 diagonale treten könnte; im Beweis hätte man nur x-^fi—i an Stelle von x<; i zu setzen. 



Es leuchtet ferner ein, dass durch geringe Abänderung der Ope- 

 rationen (> anstatt <, und „links..." anstatt „rechts...") das Pro- 

 dukt £ • t auch rechtsseitig reduziert gemacht werden kann. 



Schliesslich sei bemerkt, dass, dem Inversionsprinzipe zufolge, an 

 Stelle des linksseitigen ein rechtsseitiger Reduktionsalgorithmus treten 

 kann, der in folgendem Satze gipfelt: 



Ei Item rorqegehenen ganzen (i-Tettarion g lässt sicli ein eigenÜlclies 

 Einheits-^-Tettarion B derart zuordnen, dass das Produkt g ■ e ein liiiks- 

 oder rechtsseitig reduziertes jx-Tettarion wird. 



6. Bedeutet t ein beliebiges ganzes fi-Tettarion , so lassen sich auf 

 mannigfache Weise zwei eigentliche EinJieits- n-Tettarionen 6<*> und £*^* 

 derart bestimmen, dass das Produkt e'^' • t • s'^> ein Diagonal-(i-Tettarion 

 d wird, unter dessen DiagonalkonipoHenten dtj höchstens die letzte negativ 

 ist, und das nur, wenn N{t) < 0. Beweis : L. Kronecker hat diese 

 Tatsache in seinem Aufsatze „Über die Reduktion der Systeme von 

 n- ganzzahligen Elementen" (Grelles Journal Bd. 107, pag. 135 — 136) 

 bewiesen, und P. Bachmann in seiner „Zahlentheorie" IV. Teil, erste 

 Abteilung („A^on den Elementarteilern der Zahlensysteme", pag. 294 ff.) 

 näher ausgeführt. 



Auf etwas anderem Wege gelangt man zu demselben Ziele, wenn 

 man mit Hülfe der vorhin definierten a'''"', ß'>'''\ £<*» und ihrer ganz- 

 zahligeii Potenzen nacheinander auf Null reduziert : 



1. Alle Komponenten der ersten Kolonne, bis auf höchstens 

 die in der Hauptdiagonale stehende; 



2. Alle Komponenten der ersten Zeile, höchstens mit Aus- 

 nahme der in der Hauptdiagonale stehenden ; 



3. Alle Komponenten der zweiten Kolonne, höchstens mit 

 Ausnahme der in der Hauptdiagonale stehenden ; 



4. Alle Konponenten der zweiten Zeile, bis auf höchstens die 

 in der Hauptdiagonale stehende; usw. 



Die schliesslich übrig bleibenden nicht verschwindenden k Kom- 

 ponenten ti,i, <2, 2, <K, K, wo X < f/, erfüllen dann die behaup- 

 teten Bedingungen. Da nun sämtliche «^'-"^ ß"», ai'-*) eigentliche 

 Einheitstettarionen sind, gilt dasselbe von ihren Potenzprodukten, 



