Zahlentheorie der Tettarionen. 87 



Bezeichnet man mit %u (vi) die gesuchte Anzahl der von einander 

 verschiedenen linksseitig primären ft -Tettarionen von der Norm m, 

 so besagt dieser Ausdruck, dass 



x„ ("0 =-' Xf, {i\") ■ Xu [pf] ■ ■ x„ {]"!")■ 



Es genügt demnach, diese Anzahl für eine Primzahlpotenz zu 

 bestimmen. 



Die einzelnen Glieder der Summe in (3), die auf alle möglichen 

 Zerlegungen (1') auszudehnen ist, sind identisch mit den Gliedern 

 der Entwicklung von 



(l + p, + i^? + p' + + v'l ~ ')"" 



wenn diese Glieder nur einfach, ohne ihre Polynomialkoeffizienten, 

 genommen werden. Eine direkte Abzahlung liefert das Ergebnis: 



y (,,°)_^ (p" + '-l)-(ff°^-'-l)- ■■■■ (j)" + '-l)- ■■■■ (p°+^-'-l ) 

 ^' -^ (p-l)-(p^-l). .... (/-!)• .... (p"-'-l) 



dessen Allgemeingültigkeit durch den Schluss der vollständigen In- 

 duktion dargetan werden kann. 



§ 10. Euclld'scher Divisionsalgorithmus für ganze Tettarioneu. 



1. Von fundamentaler Bedeutung für die Zahlentheorie eines 

 vorgelegten Systemes ist die Frage nach dem grössten gemeinschaft- 

 lichen Divisor von zwei „ganzen Zahlen". Man gelangt, wenn auch 

 unter gewissen Einschränkungen, zum Beweise der Existenz und zur 

 Auffindung grösster gemeinsamer Teiler von ganzen jt-Tettarionen 

 mit Hülfe des folgenden Satzes: 



Bedeutet t ein heliehiges ganzes ^-Tettarioit, und m eine rationale, von 

 Null versehiedene ganze Zahl, so lässt sicli immer ein ganzes ^-Tettarion 

 q m bestimineu, dass 



entweder : t = m ■ q, oder: t ^= m ■ q-Ar «, 

 tvobei die Norm des ganzen ^-Tetiarions a von Null verschiede)), aber 

 ihrem absoluten Beh'age nach kleiner als \ m'' \ ausfällt: 

 0< tiV(a) I < I »if I- 



Ist zunächst t ein Diagonaltettarion d = 



rfii, 



0, d.,., ft 



0, 0, df. 



so ist jede seiner Diagonalkomponenten cZ,,,- irgend einer Zahl «,-,, 

 aus der Reihe 0, dz 1, ± 2, . . . . + k,,,-, . . . . i i;( '^j kongruent »uid )n, 



