88 L. Gustav Du Pasqiüer. 



denn diese m Zahlen bilden ein vollständiges Restsystem mod m, 

 wenn man bei geradem m von den zwei letzten nur die positive zählt. 

 Da somit d j^ j = a j^i (tiiod m), existieren ^ Zahlen qtj der Art, dass: 



d ,, ) — wi ■ 3 i, i = a i, f < -^ , d.h.: d — m ■ q = a. 



Sind alle Komponenten (/,■,, durch m teilbar, so bedeutet « das 

 Nulltettarion, und es wird d = m ■ q. 



Sind nicht sämtliche Komponenten d,j durch m teilbar, so ist 

 sicher 



|^W|^ 1(1)1- 

 Sollte dabei iV (a) verschwinden, so ersetze man diejenigen der 

 «,; ,, welche Null sind, durch m, und bestimme in geeigneter Weise die 



entsprechenden Zahlen g,, ,■ = -^ '-■ Es ist dann immer d-m q = a, 



und zugleich : 



< j iV(a) I < I m"-'^ • T i < I '"'' 1 ' 



Ist nun t nicht Diagonaltettarion, so ist es doch einem solchen 

 äquivalent: t = E-d-s, und die vorigen Gleichungen nehmen die 

 Gestalt an : 



Bei der ersten Alternative : t^=£-d-s ^= a-inq-ä=^m-£qs= ni • q. 

 Bei der zweiten Alternative : i = £ • d • £ = £ (m q-\- a) t = vi b ql -+■ 

 £ a £ = in • (/ + «• Da [ iV(ß) | = | iV^(a) |, ist der behauptete Satz 

 vollständig bewiesen. 



2. Es mögen a und d zwei ganze ^-Tettarioneu vorstellen, von 

 denen mindestens eines, etwa d, als Nicht- Nullteiler vorausgesetzt 



wird. Dann lässt sich obiger Lehrsatz 1 auf den Fall l ~', -r,, „, ,, 

 => \m = d-I)=N(d)\ 



anwenden, unter D' das zu d konjugierte ft-Tettarion verstanden. 



Aus dem angeführten Lehrsatze folgert man die Existenz, zweier 



ganzen /u-Tettarionen q und « von der Eigenschaft, dass: 



entweder a ■ D' = N {d) ■ q (4) 



oder : a- D' = N{d)- q + a (4') 



und zugleich < [ N{a) \ < | N (d) ." wird. (5) 



Bei der ersten Alternative wird aus (4): 



a ■ Nid) = Nid) ■ q d, oder, weil Nid) 4= : 

 a = (/ • (/. 

 Bei der zweiten Alternative zieht man aus (4'): 

 a = a- D'—q- d ■ D' = ia — qd) D' ^ n ■ D' 

 wobei c ^ a — q • d, oder : n ^ q ■ d -\- c gesetzt wurde. 



