Zalilentlieorie der Tet.tarionon. -SO 



Aus a = c • D' zieht man weiter : 



N{a) = K {c) ■ N{D') = N{c) ■ [N{d)y-'^ 

 und durch Einsetzen in (5) : 



< ! i\r (ß) I = I iV (c) • (^00)'""' I < ! N{d) \" 



oder, da N {d) 4= vorausgesetzt wurde : 



0<\N{c)\<\N{d)\. 



Die gefundenen Gleichungen enthalten folgenden Fundanientalsatz : 



Bedeuten a und d zwei ganze (.i-Tetfariouen, von denen das letztere 

 d nicht Nidlteiler ist, so lassen, sich immer die ganzen ^-Tettarionen q 

 und c so bestimmen, dass 



entweder: a — q- d und t- = 



oder: a = q ■ d -{- c und zuqh'icli 



(X i N(c) I < [ N{d) I >cird. 



3. Auf diesem Satze beruht die Möglichkeit eines rechtsseitigen 

 Divisionsalgorithmus, analog dem bekannten Euklidschen Algorithmus 

 in der Theorie der rationalen Zahlen, mit dem Unterschiede jedoch, 

 dass er im allgemeinen hier nicht in eindeutig bestimmter Weise 

 fortschreitet. Die wiederholte Anwendung obigen Satzes ergibt nämlich : 



wobei I iV(c) [ < ] Nid)\ 

 \ nIc^^>)\<\ N{c)\ 



,.(n-l) = g(n+l) . (.{») " ' -^^ y^ ) ^1 ^^ V- ) 



Da man für die absoluten Beträge der Normen eine Aufeinander- 

 folge von ganzzahligen jtositiven, stets abnehmenden Werten erhält, 

 wird, nach einer endlichen Anzahl von Operationen, schliesslich die 

 Null erreicht, und man gelangt dann tatsächlich zur letzten Gleichung: 



Durch die bekannte Kette von Schlüssen kommt man zur Ein- 

 sicht, dass dieses c"" in a und d rechtsseitig aufgeht, ebenso alle 

 seine rechtsseitigen Divisoren. Dieses c*"' heisst „ein rechtssei- 

 tiger grösster gemeinsamer Teiler von « und d" . 



4. Dem Inversionsprinzipe zufolge kann man, durch einen ent- 

 sprechenden linksseitigen Euklidschen Divisionsalgorithmus, von zw^ 

 ganzen |ii-Tettarionen a und d. die nicht beide Nullteiler sind, einen 



