Zaiiloiitheorie iler Tettarionen. 91 



Ein rechtsseitiges Hauptideal ist somit der Inbegriff aller der- 

 jenigen ganzen jt-Tettarionen, in welche ein vorgegebenes ganzes ji- 

 Tettarion rechtsseitig aufgeht. 



4. Zwei Ideale a und b sollen stets und nur dann „einander 

 gleich" genannt wer(]en : a = b, wenn sie genau dieselben Tettarionen 

 enthalten. 



Das System aller ganzen ft-Tettarionen bildet demnach das Haupt- 

 ideal (.(/•!) oder (1). Dasselbe lässt sich sowohl als rechtsseitiges, 

 wie auch als linksseitiges Ideal betrachten. Dei- Znsatz „rechtsseitirj" 

 oder ^linküiteitig" kann allgemein fortgelassen iverden hei Idealen, deren 

 Basis aus lauter reellen Tettarionen bestellt. — Später wird gezeigt 

 werden, dass dieser Zusatz auch nur in dem eben angegebenen Falle 

 überflüssig ist (§11, 9). 



.j. Jedes Einheits-jt-Tettarion i erzeugt dasselbe Hauptideal (r/ ■ 1), 

 denn zugleich mit a ist auch £'• e = «•£'= /i = 1, und somit jedes 

 ganze ji-Tettarion, im Hauptideale (9 • e) = (s-r;) enthalten. — Dieser 

 Satz ist ein Spezialfall des folgenden allgemeinern : 



Linksseitig assoziierte (x-Tettarionen erzeugen dasselbe rechtsseitige 

 Haujitideal. 



Dass jedes ,u-Tettarion des Hauptideals (/y -ii) auch im Ideale (,r/ • t) 

 vorkommt, leuchtet unmittelbar ein. Umgekehrt lässt sich jedes in 

 (ry • t) auftretende u-Tettarion a ■ t in die Form setzen : 



a ■ t = a ■ li ■ t = u {E' ■ t) ■ t = uE'- tt = g ■ et 



und somit ist nachgewiesen, dass beide Hauptideale genau dieselben 

 Tettarionen enthalten. 



Wenn zwei ganze ^.-Tettarionen. von nicht verschivindender Norm 

 dasselbe rechtsseitige Hauptideal erzeugen, sind sie linksseitig assoziiert. 

 Aus der Voraussetzung : Ideal (g ■ d) = Ideal (// • (/<>>) folgt nämlich : 

 d = ^<" ■ i'" und d<'> = g ■ d, somit d = 51*" ■ g ■ d; hieraus weiter: 

 N{i) = iV^((7">) • iV(.9) ■ Nijl). Diese Gleichung lehrt aber: N{g)-N{g''^) = 

 = 1, weil N{d) ^ vorausgesetzt ist. Da Isl {g) und A'(r/<«) beide 

 ganzzahlig, ergibt sich: 



,V(,/) = N{gm) = ± 1 



d. h. // und 1^'" .sind Einheits-jtt-Tettarionen, etwa r/ = a; /y<'>=f*", 

 somit d = f<"rf<'>; (Z'» =- i ■ d w. z. b. w. 



Es gilt nun folgender Fundamentalsatz : 



6. Jedes aus rationalen ganzen fi- Tettarionen gebildete und nicht 

 ausschliesslich ans Nullteilern bestellende rechtsseitige Ideal ist Hauptideal. 



Beweis: Es sei a ein solches Ideal. Nach Voraussetzung ent- 

 hält es ([(-Tettarionen von nicht verschwindender Norm ; es bedeute 



