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(/ eines derjenigen unter ihnen, deren Norm, ihrem absoluten Werte 

 nach, möglichst klein, aber nicht Null ist. Stellt dann a irgend ein 

 Tettarion aus a vor, so ist der absolute Betrag seiner Norm ent- 

 weder Null, oder aber nicht kleiner als | N{d) ]. Zugleich mit a und 

 d tritt definitionsgemäss auch a — qd im Ideale auf. Nach § 10, 2 

 ist es möglich, dieses q und ein anderes ganzes ft-Tettarion c so zu 

 bestimmen, dass 



a = q- d-\~c und zugleich < | N{c) \ < \ N{d) 

 wird, wobei das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn c = Ü ist. 

 Nach den getroifenen Annahmen tritt aber notwendigerweise dies 

 letztere ein, d. h. a = q ■ d. Jedes ft-Tettarion des betrachteten Ideals 

 a ist somit im Hauptideale (^ • f/) enthalten; ebenso das umgekehrte, 

 weil d selbst in a auftritt. Demnach ist o = (// • d) w. z. b. w. 



7. Aus dem Inversionsprinzipe folgen ohne weiteres die ent- 

 sprechenden Tatsachen für linksseitige Ideale. Die wichtigsten unter 

 ihnen lassen sich in folgendem Satze zusammenfassen: 



Jedes aiiti rationalen ganzen (i-Tettarionen gebildete linksseitige Idecd. 

 das nicht ausschliesslich aus Nullteilern bestellt, ist Hauptideal. 



Rechtsseitig assoziierte fi-Tetiarionen erzeugen stets dasselbe links- 

 seitige Ideal; wenn zivei ganze n-Tettarionen von nicht verschwindender 

 Norm dasselbe linksseitige Hauptideal erzeugen, sind sie rechtsseitig 

 assoziiert. 



8. Unter den rechts- und linksseitigen Idealen gibt es singulare mit 

 der charakteristischen Eigenschaft, dass sie lauter fi-Tettarionen von 

 verschwindender Norm enthalten. Wir wollen sie „Nullteilerideale" 

 benennen. Die vorhin gebrauchten Beweismethoden lassen sich auf 

 Nullteilerideale nicht anwenden. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, 

 liegt der Gedanke nahe, den Begriff des „zweiseitigen Ideals" ein- 

 zuführen durch folgende Definition: 



Ein System von unendlich vielen nicht sämtlich verschwindenden 

 ganzen ju-Tettarionen soll „ein zweiseitiges Ideal" heissen, wenn 

 gleichzeitig mit a und b auch a-i-b, a — b und g^^'-a-g^-^ dem Systeme 

 angehören, unter fy*" und g^^^ zwei beliebige ganze jU-Tettarionen ver- 

 standen. 



Man bemerkt nämlich, dass ein zweiseitiges Ideal niemals 

 Nullteilerideal sein kann. Es enthält in der Tat von Null ver- 

 schiedene jt-Tettarionen t ^= s ■ d ■ i, somit auch Diagonaltettarionen d; 

 zugleich mit d kommt aber aucli 



d + y ' • d -y ' + y -■ d ■ y --f- -t-y • ■ d -y " = s 



im Ideale vor, wo y das in § 8, 1 definierte eigentliche Einheits- 

 ji-Tettarion bedeutet, welches, als Faktor gesetzt, eine zyklische Ver- 



