Zahlentheorie lier Tettarioueii. SI3 



tauschling der Reihen des Komponentensystems bewirkt. Es lassen 



sich die Exponenten )»,■ und )/,■ (< = 1, 2 r) derart bestimmen, 



dass N{s) nicht Null wird. 



Es stellt sich aber heraus, dass diese zweiseitigen Ideale unter 

 den früher definierten links- und rechtsseitigen bereits enthalten sind. 

 Vergleicht man nämlich die diesbezüglichen Definitionen, so erkennt 

 man, dass jedes zweiseitige Ideal j sowohl als rechtsseitiges, wie auch 

 als linksseitiges Ideal aufgefasst werden kann. Somit ist jedes zwei- 

 seitige Ideal ] Hauptideal. Es existieren demnach zwei ganze ju-Tet- 

 tarionen a und h derart, dass 



zweiseitiges Ideal 3 = Ideal (g ■ a) = Ideal {b ■ g) (6) 



Hieraus folgt weiter die Existenz zweier ju-Tettarionen/und/*'' 

 von der Beschaffenheit, dass a^h-f und b=ß'^>a, also a^=ß^^- a-f, 

 X{a) = N{ß'^) ■ A' («) • ^"{f), also N{f) ■ N{ß») = 1, weil N(a) =f= 0. 

 Demnach sind a und b linksseitig sowohl als auch rechtsseitig asso- 

 ziiert. Unter Berücksichtigung von § 11, 5 und 7 wird somit aus 

 obiger Gleichung (6): 



Ideal (g • a) = Ideal (« • g). 



Die Bestimmung der zweiseitigen Ideale kommt also auf das Auf- 

 finden derjenigen ganzen ft-Tettarionen a hinaus, welche mit der Ge- 

 samtheit aller ganzen ft-Tettarionen vertauschbar sind. Diese Eigen- 

 schaft besitzen die reellen Tettarionen (§ 2, 7), aber auch nur die 

 reellen, wie jetzt nachgewiesen werden soll. 



9. „Das ganze ;t-Tettarion c ist mit der Gesamtheit aller ganzen 

 ft -Tettarionen vertauschbar" heisst: einem beliebig vorgegebenen 

 ganzen (it-Tettarion x muss sich ein ganzes fi-Tettarion y derart 

 zuordnen lassen, dass die Gleichung besteht: 



c ■ X ^ y • c. 



Hierbei darf c als Diagonaltettarion vorausgesetzt werden, denn 

 mit voriger Gleichung ist die folgende : 



ä •(,- (a • a" ^) •,/■•£ = £ • y • (F" ' • e) • c • £ 



(e ■ c • a) • U~ '•./■■ a) = (ä ■//•£-')• (a • f • a) 



d • X = ]) ' d 



gleichbedeutend, weil zugleich mit x" auch x = e~^- x- s jedes ganze 

 fi-Tettarion vorstellen kann, a und ä lassen sich bekanntlich so be- 

 stimmen, dass i ■ c ■ e = d ein Diagonaltettarion mit nicht negativen 

 Komponenten wird (§ 7, 6). Aus der Gleichung 



d -x = y • d 



