Zahlentheorie der Tcltarioneii. 97 



7. Voriger Satz lässt sich für den Fall, in welchem eines der 

 zwei jit-Tettarionen a und h ein reelles ist, umkehren : 



Ein hfJiehifjes ganzes ^-Tettarioii a und ein reelles r sind immer 

 ziiffleirli rechtsseitig und linksseitig teilerfremd oder nicht, und zwar 

 tritt der erste oder der zweite Fall ein, je nachdem, N ,{a) und N (r) 

 relativ prim sind oder nicht. ' 



Sind nämlich a und /■ linksseitig teilerfremd, so ist die Gleichung 



a-g-\rr-f=l (Kl) 



möglich; aus ihr folgt : N(a) ■ N (g) = N (\ — r •/) = 1 — r ■ z, unter z 

 eine gewisse rationale ganze Zahl verstanden. Hieraus wird weiter: 



N(a)-N{g) + r-z = l (11) 



und diese Gleichung zwischen rationalen ganzen Zahlen besagt be- 

 kanntlich, dass N{a) und r. also auch N (a) und N{r) = r'', teiler- 

 fremd sind. 



Wenn N(a) '"nd /V(/) einen von 1 verschiedenen gemeinschaft- 

 lichen Divisor besitzen, so können a und /• nicht linksseitig teiler- 

 fremd sein, weil sonst Gleichung (10), also auch (11), gelten müssten. 

 was durch die Annahme, dass N{a) und /■ einen gemeinschaftlichen 

 Divisor haben, ausgeschlossen ist. — Hierauf gestützt, beweist man 

 auch den ersten Teil des Satzes indirekt. 



Kapitel IV. 

 Der Zerlegungssatz. 



J; 13. Die Primtettarionen : der Zerleg-ungssatz für Dlagonaltettariouen. 



1 . . . // 



1. Ein ganzes jU-Tettarion w ^ ^ jr,,„ ■ e''''\ welches nicht Ein- 



heits-fi-Tettarion und nicht Nullteiler ist, heisso „Primtettarion', 

 wenn es nur solche Darstellungen als Produkt aus zwei ganzen 

 jU-Tettarionen zulässt, bei welchen einer der Faktoren ein Einheits- 

 tettarion ist. 



Ist ein ganzes ft-Tettarion n Primtettarion, so gilt dasselbe von 

 allen zu n assoziierten, ebenso von den mit n äquivalenten. — Die Norm 

 eines Primtettarions kann man stets, ohne Beschränkung der Allge- 

 meinheit, als positiv voraussetzen ; denn ist sie es nicht bereits, so 

 betrachte man e ■ n oder w • £ an Stelle von n, unter £ ein uneigent- 

 liches Einheits-ft-Tettariou verstanden (§ :'., 4 und i; 9, 1). 



2. Auf Nuilteiler ist dieser Begriff nicht anwendbar. Bedeutet 

 nämlich n einen solchen, so ist n einem Diagonaltettarion d äquivalent, 

 dessen Rang s sicher kleiner als fi ist: s < ft — 1. 



Vierteljalu-schrift <1. Natnrf. Ges. Zürich. .Jahrg. 51. 1900. 7 



