Zahlentheorie der Teltarioneii. 101 



3. Erster Fall. Unter den Faktoren p^'^ kommen nirgends 

 zwei gleiche vor: jj*'' =)= p^"^ sobald / 4= >« (', t = 1, 2, 3, . . . . //)• 



Es besitzen <■ und 7/" unendlich viele linksseitige grösste gemein- 

 same Teiler, die sämtlich zu einander assoziiert, aber nicht Einheits- 

 ju-Tettarionen sind (§ 12, 7). Unter denselben sei ä<" der primäre, 

 so dass: 



c, = fl:U) . c<" (3) 



y/0) =.- :tt<i» • (/(i). (4) 



Hieraus folgt zunächst : 



vr.'i)^ = ^^^ - p'^'-p'^-p'"'- ■■■■ -p'' (.■) 



ferner : 



iV(yi)) = [pWf = iV(jt»0 • .V (r/il). 



Da p'^> eine Prinizalil vorstellt, muss N (n:*'') eine Potenz derselben 

 sein, und zwar die erste, wie aus (5) hervorgeht, weil iV(c'^>) ganz- 

 zahlig ausfallen muss und nach Voraussetzung nur ein Faktor y in 

 .V(r) auftritt. Demnach ist: ^V(3r*^') =^/'*, somit ä*'' ein primäres 

 l'rimtettarion, und die Gleichung (5) reduziert sich auf: 



• A^(c(l)) =^;(2) .jy3) ^W (2') 



Aus (3) schliesst man weiter, dass ^•"' wieder primitiv ist. Be- 

 deutet nämlich /■ den grössten gemeinschaftlichen Divisor aller ji'- 

 Komponenten von c^^', so ist c*^' = /■ • (J, demnach 



r = :nrt>' • r<li = Tt'^' ■ /■ C = /' • n'» (' 



durch /• teilbar, d. h. die ^i' Komponenten von r besitzen den gemein- 

 schaftlichen Divisor /■; die vorausgesetzte Primitivität von c zieht 

 /■ = 1 nach sich, und dies besagt, dass c'" primitiv ist. 



Man behandle nun die Gleichung (2') genau so, wie vorhin die 

 Gleichung (2) : es ergibt sich die Existenz eines primären Primtet- 

 tarions ;r*^' von der Norm jj<^', so dass 

 (,■<!) = jr'-^) • c(2> 

 pC^ = jr*-' ■ 5»2' 



ferner: r'-' wieder primitiv, und 



ivr|^,.*2)j =j/3'. p('». 



Durcli fortgesetzte Anwendung derselben Schlnssweise ergibt sicii, 

 nach einer endliclien Anzahl von Operationen : 



,,(„-1, ^ ^(n) . ^.(«, 

 pin) =^ jf(n) . ^.(H) 



ferner: *■<"-'> wieder primitiv, und iV ((■*""!>) =y>'"'. 



