Zahlentheorie der Tettariüiien. 103 



unter d ein Diagonal-ft-Tettarion von der Norm [7/'*]* + ' verstanden. 

 Dasselbe kann in ein Produkt aus (2 -1- i) anderen Diagonal -fi-Tetta- 

 rionen (/""' von der Norm j/" zerlegt werden (§ 13, 5) : 



d = d^v.d^i>- ..... cZC». ..... ^» + 0.^(2+0 (6) 



X(d^») = iV(d(2)) = .... = Nid^"^) = .... =N{cr-+''>)= p^». 



Dann ist: 



„w = £ rf I = f . (ZW - rf«i . (/(3) f/(i+o . f;(2+o . j 



==a.(P.«/<ä> d<'+'''-ft 



wobei rt = f • d'i> und 6 = (i<^+'' • £ 

 gesetzt wurde. Nun sind a und h wohl Primtettarionen, da ihre 

 Norm gleich der rationalen Primzahl j/" ist (v. § 13, 3); aber sie sind 

 nicht notwendigerweise primär. Ferner sind sie nicht unzweideutig 

 bestimmt, weil die Reihenfolge der «/*"' in (6) beliebig ist und, wenn 

 /• und .y irgend zwei von einander verschiedene Zahlen aus der Reihe 

 1, 2, . . . . 1 + /, 2 H- / bedeuten, man eben so gut setzen könnte: 

 n = £ . (/(••) und h = tZ<«' . t 



ohne die Richtigkeit der Gleichung «'" = a ■ d^"^ ■ • b 



aufzuheben. 



Demnach lässt sich c stets in ein Produkt aus Primtettarionen 

 zerlegen, so dass entweder jeder einzelne Faktor für sich, oder doch 

 jeweilen das Produkt aus je n nebeneinander stehenden primär ist, 

 wobei X einen der Werte 1,2, ft — 1 annehmen kann. 



Die Zerlegung von '■ in Primtettarionen ist sicher dann mehr- 

 deutig, wenn c nicht Diagonaltettarion ist und überdies unter den 

 Primfaktoren von N{r) mehr als je {ß — 1) einander gleich sind und 

 dieselben nicht nebeneinander stehen, wie aus Gleichung (5) ersicht- 

 lich ist. 



5. Die Mehrdeutigkeit der Zerlegung wird verringert, wenn in 

 A" {(■) je alle gleichen Prinifaktoren nebeneinander stehen und zu 

 einer Potenz vereinigt werden. Dies ergibt folgenden Spezialfall 

 des Zerlegungssatzes : 



Bezeichnet c ein primltivct<, (janzeii ^i-'leUnrioi', aber n'wlif ein 

 IJicu/onaUettarioii, und ist aeine Norm 



N (c) = p"' ■ q''^- ■ <"'■ 



unter p, q t lauter von einander und von 1 verschiedene Prim- 

 zahlen verstanden, so lässt sieh c, wenn mindestens einer der Expo- 

 nenten c!; > 1 ist. im allgemeinen auf mehrere Arten, in die Form setzen: 

 c ^= :;r<') ■ jr*-^' • . . . • jt*«'' • sc'« • x<-' • . . . ■ x("=> ..... t<'> . t«^» • . . . • r«""' • £ 

 unter rc'", 3r<^>. . . . n:<°'> Primtettarionen tum der Norm p, ferner unter 

 h'", jc<2', . . . x'"-'* solche von der Norm q. u. s. n-., scldiesslirh unter t<i'. 



