Ziüileiithedrie der Tettarioiieii. 105 



Ein Produkt ans jiriiiiärt'ii Pr'titÜPttarinnen : 



jjll) . jjl2) . jji3) jj.(n,l 



in welchei)! ä'" div Narni y/'', jr*-' die Norm y/-', u. x. f., i^rliUcf-slirl/ k^"* 

 die Norm p'^^ haben, unter j/^', j><^' .... p''^^ lauter ron einander und 

 von 1 rersrJneden.e rationale Primzahlen versianden, stellt immer ein 

 primitives (t-Tettari(ni dar. 



Der Beweis wird am einfachsten durch den 8chliis.s der voll- 

 ständigen Induktion geführt: man nimmt an, der Satz sei für alle 

 Produkte aus n Faktoren bereits bewiesen, und folgert hieraus seine 

 Dichtigkeit für irgendwelches Produkt aus (« + 1) Faktoren ; dann 

 ist seine Allgemeingültigkeit nachgewiesen, weil er für » = 1 zu- 

 trifft (g 14. 2). — Mit Beibehalt der in der Aussage getroffenen 

 Voraussetzungen sei 



Jt*-' ■ jr*'» • • ;r"" = r 



ein primitives ft-Tettarion, und jr'^' ein primäres l'rimtettarioii von 

 der Norm y. Es ist zu zeigen, dass das Produkt 



jj-U» = ^1 



wieder primitiv ist, mit andern Worten, dass der grösste gemein- 

 schaftliche Teiler w der ft^ Komponenten von n'^> ■ c gleich 1 sein 

 muss. Wäre das nicht der Fall, sondern m^ 1, so würde ä<'> • r; = 

 = m • C, somit auch (71<i>y- :i'^^ ■ r = iV (?!:<") • r = in (TT«!'/- C, durch m. 

 teilbar sein. Da r primitiv vorausgesetzt wurde, müsste demnach 

 A' («•'>) ^^/<" ein Vielfaches von m sein, und dies würde m = jfi^ nach 

 sich ziehen, weil p^'-' als Primzahl und m 4= f vorausgesetzt ist. 



Vorige Gleichungen ergäben dann: 

 jtO) . ^ii) . „a) ..... ^(n> = „(i) . ,. =yi. . c = Nin^^') ■ C = ;t<" • im')'- C 



woraus nach linksseitiger Multiplikation mit (^:;r'")"': 

 jr'--^' ■ 3t<3) • -n:«»» =• r = (/lO)'- C. 



Auf diese Weise hätte man zwei verschiedene Darstellungen von 

 r erzielt. Dies steht aber im Widerspruche zum Zerlegungssatze von 

 Jj 14, ■]. Die Annahme m =|= 1 ist son)it auszuschliessen. 



Bemerkung: Derselbe Widerspruch ergibt sich im allgemeinen 

 nicht, sobald in A\i:) ein und dieselbe Primzahl mehrmals als Faktor 

 auftritt, wenn also mehrere der Primtettarionen w"' dieselbe Norm 

 haben. Dass der Zerlegungssatz in diesem Falle sich nicht immer 

 umkehren lässt, erkennt man auch direkt an folgendem Beispiele: 



Bedeuten ji und q zwei rationale, von einander und von 1 ver- 

 schiedene positive Primzahlen, so gibt es {l-^p-^-p^) verschiedene 

 primäre Primtritettarionen (ft = 3j von der Norm /i, die sämtlich 



