Zahlentheorie iler Tettarioneii. 111 



Eine TetkirionenhnKjnienz mit rationaler ganzer Zahl m ab Mo- 

 dul darf man, oJine den Modul m zu verändern, nur dann durch ein 

 f/anzes (t-Tettarion g links- oder rechts!<eitig diridieren, wenn die Norm 

 des Dirisori' g relative Primzahl gegen den Modul m ist. 



5. Kommt es vor, dass eine oder beide Seiten einer Kongruenz 

 ein unbestimmtes /n-Tettarion ./■, oder deren mehrere: x. //, .... ent- 

 halten, so entsteht die Aufgabe, eine Kongruenz .aufzulösen", d. h. 



diejenigen ganzen ji-Tettarionen ./■, // zu bestimmen, welche 



„Wurzeln" der Kongruenz sind, durch welche die zwei Seiten der 

 Kongruenz einander wirklich kongruent werden. 



Wir nehmen an, die vorgelegte Kongruenz enthalte nur eine 

 1...," 

 Unbekannte x =^ .r,.« • e*'-"', und habe die Form R (.r) = (mod in), 



wo E (j;) eine rationale Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten be- 

 deutet. Wir erörtern nur den Fall von Tettarionenkongruenzen ersten 

 Grades ; sie lassen sich in die Gestalt bringen : 

 a ■ X = h (niod ni) 

 oder: x • a = h (mod m). 

 Sind X{a) und m teilerfremd, so existieren rationale ganze Zahlen 

 /• und s von der Eigenschaft, dass 



/• • X{o) -^ s ■ in = 1, oder: /■ -A'- a + •>-■ • nt = 1 

 d. h. : r ■ Äa = 1 {mod ni) 

 wird. Soll nun it ■ x = b [inod in) sein, so muss auch: 

 r A- a ■ X = r Ä ■ h {mod m), 

 also : 1 • X = r A'- h {iikhI m) sein. 

 Dieses x ist auch wirklich „Wurzel" der vorgelegten Kongruenz, 

 denn aus : a ■ x = b {mod m) wird : 



it ■ r A!b = b {mod m), d. h. : /■ • X{(i) ■ b ^ b, d. h. : b = b (^inod in), weil 

 /• • N{a) = 1 {mod m) vorausgesetzt wurde. 



Hierdurch ist ein Mittel angegeben, Kongruenzen ersten Grades 

 mit einer Unbekannten aufzulösen, und zugleich folgender Satz bewiesen: 

 Eine liinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit der Kongruen:^ 

 a-x = b{modm) in ganzen fi-Tettarionen x lautet: N{a) teilerfremd 

 gegen m. Ist diese Bedingung erfüllt, so besitzt die Kongruenz eine 

 und nur eine Lösung x {mod m), nämlich: 



X = r A' b {mod m) 

 wobei r eine Wurzel von r • N {a) ^ 1 {mod m) bedeutet. 



6. Eleganter gestaltet sich die Theorie der Tettarionenkongruenzen. 

 wenn man sie auf den Begriff des Tettarionenideals stützt. 



