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Dcliiiifionsgcmäss ist die Kongruenz 



(I -.r = h {mnil m) (3) 



mit dtT niihestimmten Gleichung 



(I ■ X + III ■ 11 = /; (4) 



gleichbedeutend. Ihre Auflösbarkeit verlangt also, dass das aus n 

 und III erzeugte linksseitige Ideal {a ■ r/ + tu -J) das jt-Tettarion h 

 enthalte. Dieses Ideal ist aber identisch mit dem Hauptideale {d ■ //), 

 wo fl einen linksseitigen grössten gemeinsamen Teiler von a und ;// 

 bedeutet: derselbe muss somit auch linksstehender Divisor von // 

 sein, etwa 



a --= (i • n, III = il ■ v; h ^ il ■ ß. (o) 



Ist diese Bedingung erfüllt, so gibt es ganze ji-Tettarionen x und // 

 derart, dass 



d ■ a ■ X -j- d ■ V ■ // = d ■ ß (6' ) 



wird. Aus m = d ■ v ist ersichtlich, dass (/ nicht Nullteiler ist. Somit 

 reduziert sich vorige Gleichung auf 



K ■ X -{- V • 1/ = ß (6) 



n ■ X T^ ß {iiKid v). 



Diese letztere Kongruenz, in welcher n und ?' teilerfremd sind. 

 besitzt inodnlo v mindestens eine Lösung ; denn sie ist gleichbedeutend 

 mit der" Gleichung ((3). und diese besagt, dass ß im linksseitigen 

 Ideale (ag 4- vf) auftreten muss, was sicher zutrifft, da besagtes 

 Ideal mit dem Hauptideale (// ■ 1) identisch ist und somit alle ganzen 

 ju -Tettarionen enthält. 



Dass jede Lösung von (ti) auch Wurzel der vorgelegten Kon- 

 gruenz VS) ist, lehren die Gleichungen (5) und (6') unmittelbar. 



7. Nimmt man in den drei Gleichungen (5) die Normen, so ist 

 durch vorige Überlegungen folgender Satz bewiesen: 



Die notwendige und Itliu-eicliende Bedingung für die Aiißösharkeit 

 der Kongruenz a ■ x = h {mod m) in ganzen fi-TeUarionen x besteht darin, 

 dasx der grösste gemeinschaftliche Divisor von N (a) und Nim) = in'' 

 auch in N (b) aufgehe. 



Als obere Schranke für die Anzahl der modiilo in inkongruenten 

 Wurzeln lässt sich »«""' angeben; denn bedeutet *<"' irgend eine Lö- 

 sung der Kongruenz (6), so ist jede Wurzel von (3) in der Form 

 ^.(0) _|_p . ,; enthalten, wo p ein beliebiges ganzes ft-Tettarion vorstellt 

 und V das in (5) dehnierte v = d~'^ • in. also nicht notwendigerweise 

 ein reelles |u-Tettarion bedeutet. 



Bemerkung: Dem Inversionsprinzipe zufolge gelten dieselben 

 Sätze 5 und 7 auch für die Kongruenz x ■ a = b (mod ni ), welche die 

 Wurzel X = b Ar { innd in ) besitzt. 



