118 I.. Gustav Du Pasquier. 



Anmerkung: Bedeutet i eine der Zahlen 1, 2 ?• — 1, so ist 



der in § 17, 5 bewiesene Lehrsatz auch dann noch gültig, wenn a 

 ein /-kolonniges, ni hingegen ein /-kolonniges ju-Tettarion vorstellt. 

 Ebenso kann in obigem Lehrsatze 9 sehr wohl t ein /-kolonniges 

 und /' ein r-kolonniges ft-Tettarion bedeuten (v. § 8, 5 d). 



§ 18. Nicht singulare Nullteilerideale. 

 Der Zerlegungssatz für nicht singulare NuUteiler. 



1. Ein rechtsseitiges Ideal soll „r-kolonniges Nullteiler- 

 ideal" heissen, wenn es mindestens ein r-kolonniges /t-Tettarion ent- 

 hält (/■<(u) und überdies ausschliesslich aus /-kolonnigen Nullteilern 

 besteht, wobei i einen oder niehi-ere Werte der Zahlenreihe 1, 2, .... /■ 

 annehmen kann. 



Eine entsprechende Definition gelte für „linksseitige /-zeilige 

 Nullteilerideale." 



2. Es sei irgend ein rechtsseitiges r-kolonniges Nullteilerideal n 

 vorgelegt. Man betrachte die Gesamtheit aller in n enthaltenen 

 linksseitig reduzierten ,u-Tettarionen, hebe unter denselben die r-ko- 

 lonnigen heraus und bezeichne diese mit /*'■' (A = 1, 2, 3, . . . .). Es sind 

 dann zwei Fälle denkbar: 



entweder haben sämtliche /*'•' eine verschwindende Pseudonorm ; 

 in diesem Falle möge das Ideal n „singulär" heissen; 



oder aber es tritt unter den r<^* mindestens eines auf, dessen 

 Pseudonorm nicht Null ist; in diesem Falle heisse das betreffende 

 Ideal „nicht singulär". — Die entsprechende Definition gelte für 

 linksseitige Ideale. 



Ein rechtsseitiges einkolonniges Nullteilerideal ist demnach nie 

 singulär, ebenso ein linksseitiges einzeiliges nicht. 



Es gilt nun folgender Fundamentalsatz : 



3. Jedes rechUseitigc i/irlif ni.)/f/i<1än: r-kdlniiiiif/c NitUteili'rideal ist 

 Haupüdeal. 



Beweis: Es genügt, unter den ji -Tettarionen des Ideals die 

 linksseitig reduzierten zu betrachten. Nach Voraussetzung treten 

 unter ihnen nicht singulare auf. Bezeichnet man mit .s' dasjenige 

 dieser letzteren, dessen Pseudonorm einen minimalen absoluten Betrag 

 hat (ev. eines derselben), und mit r^ irgend ein anderes linksseitig 

 reduziertes /li-Tettarion des Ideals, so ist auch r^ — q ■ s im Ideale 

 enthalten. Dieses ganze ju-Tettarion q lässt sich nun so bestimmen, 

 dass entweder r'-'-' — q s = 0, oder r'^* — q s = (• wird, und zugleich 

 die Pseudonorm des Nullteilers c, absolut genommen, kleiner ausfällt 

 als diejenige von s, olme jedoch Null zu sein (§ 17, 9). 



