Zahlentlieorie der Tettarinneii. 121 



Bedeutet nun r den grössten gemeinsamen Teiler aller Zahlen 

 )/(''■', ist also )»<'•> = V ■ «''', so hat jedes Tettarion des vorgelegten 

 Ideals die Gestalt: 



rt« = fW . ,„a> . Ill' ^ l = £W . ,^a) . I ^'^P' ^- <1 1 _ jw . ^^w . 5 = ^^(A) . ö\ 



Alle Tettarionen aus ii sind somit im rechtsseitigen Hauptideale 

 (//•Ö) enthalten. Es bleibt noeh das Umgekehrte nachzuweisen übrig. 

 Aus der getroffeneu Annahme, v sei der grösste gemeinschaftliche 

 Teiler aller »»''• = «<■*>• v folgt, dass im Ideale n zwei linksseitig re- 

 duzierte Düotettarionen a<^> = n^'> ■ d und «<"* == </*"> • ö auftreten, bei 

 welchen /('s* und //<"' relative Primzahlen sind. Dann besteht be- 

 kiinntlich eine Gleichung von der Form : 



/ •/<<'■> ■ ./">• //<"» = 1 



wo f und y'<" passend gewählte rationale ganze Zahlen vorstellen. 

 Diese Gleichung ergibt: 



/.«(£.)+/(!).«(". = ö. 



Hieraus ist ersichtlich, dass Ö selbst im betrachteten Ideale n 

 auftritt; dieses ist infolgedessen identisch mit dem rechtsseitigen 

 Hauptideale («7 ö). Es gilt somit ausnahmslos der Fundamentalsatz : 



Jedes aus rationalex ganzen Düotettarionen rjebüdete reditgt^eitu/e 

 Ideal ift Haitptideal. Ein entsprechender Satz besteht, dem Inversions- 

 prinzipe zufolge, für linksseitige Düotettarionenideale. 



2. Späterer Anwendung halber heben wir folgende Konsequenz 

 dieses Fundamentalsatzes hervor: Jedes ans rationalen ganzen ^-Tet- 

 tai'ionen gebildete reclds>seitige zweikolonnige Ideal ist reditifseitiges Haupt- 

 ideal. Der Satz bleibt richtig, wenn „linksseitig''' statt „rec]itxseitig~ 

 gesetzt wird. 



Es sind nämlich alle fi-Tettarionen des Ideales zu den links- 

 seitig reduzierten unter ihnen assoziiert, und diese letzteren besitzen 

 einen rechtsstehenden grössten gemeinsamen Teiler, der selbst im 

 Ideale enthalten ist. Um das einzusehen, braucht man nur die links- 

 seitig reduzierten j« -Tettarionen des Ideales durch eine Permutation 

 auf „entsprechende" linksseitig reduzierte Düotettarionen abzubilden 

 {\. § 5, 2 und 3). 



3. Ein Tettarion von nicht verschwindender Norm kann nicht 

 ein Nullteilerideal erzeugen. Wenn also zwei Tettarionen dasselbe 

 Hauptideal erzeugen, so ist entweder keines von beiden Nullteiler, 

 oder aber es sind es beide zugleich. Dass sie im ersten Falle asso- 

 ziiert sind, wurde bereits nachgewiesen (^§ 11, 5). Für Düotettarionen 

 gilt dies auch im zweiten Falle : 



