Zahlentheorie Jer Teltarionen. lüü 



Der Beweis ist genau so zu führen, wie in § 14, 3. Aus den 

 dort schon aufgestellten Gleichungen 



c = jtW . c« (31 



pW = :;r(i) . q(u (4 ) 



in welchen ;r"' den linksseitig primären grössten gemeinsamen Teiler 

 von c und ^)'" bedeutet, folgt zunächst, dass q^^^ nicht Einheitsdüo- 

 tettarion sein kann, weil sonst c durch den Primfaktor j>'^'> teilbar, 

 also nicht primitiv wäre; j iV(5"') ; =i= 1. L)a aber, wegen (4): 



N iß») = N(n'''> ) • N (2<'M = [//» p 



muss immer N(n^^') — Niq'^'') = ± p"', d. h. 3r*i' Primtettarion sein, 

 weil j/^' eine rationale Primzahl bezeichnet. Der in !^ 14, 4 besonders 

 behandelte zweite Fall fällt somit bei Düotettarionen ganz ausser 

 Betracht. 



Hingegen ist zu bemerken, dass die Darstellung in (2) mehr- 

 deutig wird, sobald in (1 ) mehrere Primfaktoren einander gleich sind 

 nnd nicht nebeneinander stehen, etwa j^^> = j^'\ Aus (3) ergibt sich 

 nämlich : 



mid der Faktor ^/^' dos Nenners lässt sich dann nach Belieben ent- 

 weder gegen p'^\ oder gegen p^'> = j/^) des Zählers kürzen; es wird 

 dann je'-' den linksseitig primären, grössten gemeinsamen Teiler von 

 (■'" und j/-', oder aber von r'^^i und ^/" vorstellen. Dass diese A^iel- 

 deutigkeit aufhört, sobald je alle gleichen Primfaktoren nebeneinander 

 stehen, erkennt man sofort; ebenso, dass sie aufgehoben wird durch 

 die Forderung, es solle iV (w*-') gleich p'^^\ allgemein iV^w'^') = p*""' 

 sein [k = 1,2,.... w). 



2. Dasselbe gilt, wenn an Stelle des linksseitigen der entspre- 

 chende rechtsseitige Divisionsalgorithmus tritt. Die sich hierbei er- 

 gebende Darstellung von c: 



in welcher s. Ä"', jt'-' Ä'"' dieselbe Bedeutung haben wie in 1, 



ist ebenfalls eindeutig bestimmt, sobald die Reihenfolge der Faktoren 

 von iVU') =y/^* •;;*'^' ■ •/*"" vorgeschrieben ist. 



3. Ein erwähnenswerter Spezialfall des vorigen Satzes ergiltt 



sich, wenn man die Primfaktoi'en von N ij:) in der üblichen Weise 



so anordnet, dass man je alle gleichen unter ihnen zu einer Potenz 

 vereinigt : 



