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Bezcicltiiet c ein primitires Däotettarioii, und ist: 

 N{c) =p<-^.q-2. -r- 



iii/fvr p. q t lauter voti einander und vo)/ 1 vrrxrldedene Primzahlen 



■verxtaiideii. so lässt sicli c, und zwar nur aitf eine Weise, in die Form setzen: 



r = Ä>i' • Jt<2> • . . . • äC') • jc(« • xf'" • . . . • x*«2) • . . . • t'D • tP> • . . . • t(«"> • a 



wobei Ä*'', :r<ä>, ac(«i' primäre Primdiiotettarionen von der Norm p, 



ferner x<", x'^>, x<">:> solclie von der Norm q, u. s.f., schliesslich t<'>, 



T*'^*, T<""* solcln^ von der Norm t bedeuten, und e ein Einheits- 



tettarion vorstellt. 



Man erkennt sofort, dass in dieser Darstellung von c niemals 

 zwei konjugierte Düotettarionen nebeneinander stehen können, denn 

 sonst wäre ihr Produkt ein reelles Tettarion, somit vertauschbar mit 

 jedem andern, und es würde c nicht primitiv sein. — Dieser Satz 

 lässt sich umkehi'ön, was bei (w-Tettarionen, sobald ft > 2, im allge- 

 meinen nicht der Fall ist : 



4. Ein Produkt aus primären Primdiiotettarionen: 

 3i(i) . nC-" ■ ■ ;r<°'> ■ xW • x<« • • x<°-'> • ■ t« • t«^) . . t<«") 



in welcli.em tt'^', n^"^', .... ;r<"'* die Nornt p, ferner x"*, x<-*, .... x<"=' die 

 Norm q, u. s. f.. scJdiesslich t<'>, t*'-", .... t<""' die Norm t haben, unter 

 p, q, . . . t lauter von einander und von 1 verschiedene Primzahlen ver- 

 standen, stellt immer ein primitives Düotettarion dar, wenn nirgends 

 zivei konjugierte Primtettarionen nebeneinander stehen. 



Der Beweis wird am einfachsten durch den Schluss der voll- 

 ständigen Induktion geführt, da der Satz für « = 1 bereits zutrifft 

 (§ U, 2). 



Voraussetzungen : 3i<-' • ti*^* •....• ;r<"i' • x"*- ■/.<-> •....• t<""' = c 

 ist ein primitives ganzes Düotettarion; ferner: :t'" ist ein von (77<^>)' 

 verschiedenes, primäres, ganzes Primdüotettarion von der Norm j; =j= 1 : 



iV(jr»') =p; n''^>^ (;77«M'. 



Behauptung: n^^'> ■ n^'-^ ■ Jt*^' ■ . . . ■ n:<"'' • x»" • x'-> • . . . • t<«"'= ji'" ■ c 

 ist wieder ein primitives Düotettarion. 



Beweis: Wäre das nicht der Fall, sondern ;t''' • c = ;» • C, unter 

 m eine von 1 verschiedene ganze rationale Zahl verstanden, so müsste 

 auch (/!<")' :i*'> c = N(7i'-^>) ■ c = p ■ c = m (Tl^^'i')' C durch m teilbar sein, 

 was m = p erfordern würde, weil c primitiv und p Primzahl ist. 



Somit wäre :r*'* • 3t<-' ■ n^'^^ ■ . . . ■ ;i<"'' • . . . • t<""> = :r'" • c = m ■ C = 

 r=p.C= N (3r<«) • C = 3t") • (;/7'")' • C'; woraus : 



:rt'2> • :iW ..... • n:«"') ■ x<'> • • t<«") = c = ( /7"M'- C. 



