über den Picardschen Satz. 253 



Satz IIP): Es sei die analytische Funktion F{x) in der 

 Umgebung von x = ^ eindeutig und habe im Punkte x- = | 

 eine isolierte wesentlich singulare Stelle, d. h. es sei F{x) 

 für 



0< X—^\<Q (1) 



eindeutig und regulär, und F{x) sei für a; = | weder regulär 

 noch ausserwesentlich singulär. Es seien a und b zwei ver- 

 schiedene Konstanten. Dann hat mindestens eine der bei- 

 den Gleichungen 



Fix) = a, (2) 



F(x) = b (3) 



in dem Gebiete (1) eine Wurzel. 



Aus dem Satz III folgt unmittelbar, dass mindestens eine der 

 beiden Gleichungen (2) und (3) in dem Gebiete (1) unendlich viele 

 Wurzeln besitzt: denn, wenn |, eine Wurzel ist, so braucht nur p; so 

 gewählt zu werden, dass 



0<p,<||i — ^[ 



ist, und dann auf das Gebiet 



0<\x — I ■ < Pi 



der Satz III nochmals angewendet zu werden und so fort. Der 

 Picardsche Satz III lässt sich daher auch so aussprechen, dass die 

 beiden letzten Worte „eine Wurzel" durch „unendlich viele Wurzeln" 

 ersetzt werden.-) 



Im Satz II ist offenbar der Satz I enthalten. Ferner ist Satz II 

 ein Spezialfall des Satzes III ; denn, wenn in diesem — statt x — t 

 geschrieben wird, so nimmt er den Wortlaut an, welcher ihm völlig 

 äquivalent ist: 



Satz IV: Wenn F{x) im Endlichen für | a' | > e eindeutig 

 und regulär, für x = oo wesentlich singulär ist, so hat 

 mindestens eine der beiden Gleichungen (2) und (3) im Ge- 

 biet ia;|>6 unendlich viele Wurzeln. 



Hierin ist offenbar der Satz II enthalten. 



Herr Picard bewies alle diese Sätze mit Hilfe der Theorie der 

 elliptischen Modulfunktionen. Der Satz I erforderte mit diesem Hilfs- 



') ,Sur les fonctioiis analytiques uniformes dans le voisinage d'un poinl sin- 

 t'ulier e.'jsentiel", Comptes rendus etc., Bd. 89, 1879, S. 74.5— 747; „Memoire etc.", 

 S. 164- lO."). 



'-) Wenn Fix) für 0< l.r — ?|<e nur als eindeutig und meromorph voraus- 

 gesetzt wird, zeigt Herr Picard durch eine einfache Transformation auf Grund von 

 III, dass F(x) in jenem Gehiete höchstens zwei Werte auslässt. 



