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mittel zu seiner Begründung nur wenige Schlüsse. Die Sätze II und 

 III (=IV) bedurften umständlicherer Entwickelungen; Herr Picard 

 bewies beide auf analogem Wege. Beim Beweise des Satzes II wurde 

 angenommen, dass F{j-) für ja;[>6') weder =a noch =h ist, um 

 daraus zu schliessen, dass F(x) für x = <x gegen die Voraussetzung 

 den Charakter einer rationalen Funktion besitzt; Herr Picard bemerkte 

 alsdann, dass dieser Beweis ohne irgendwelche Annahme über das Ver- 

 halten von F{x) für \x\-^6 gilt und gelangte so zum Satze IV (= III ). 

 Bei allen diesen Sätzen ist es keine Einschränkung der Allge- 

 meinheit, 



a = 0, & = 1 



anzunehmen, da man sonst nur statt F{.i:) die Funktion 



zu betrachten braucht. 



Lange war man vergeblich bestrebt, einen jener Sätze mit ele- 

 mentaren funktionentheoretischen Mitteln, d. h. ohne Anwendung der 

 Theorie der Modulfunktionen, zu beweisen. Erst im Jahre 1896 

 machte Herr Borel') den bedeutenden Fortschritt, den Picardschen 

 Satz I mit elementaren Hilfsmitteln zu beweisen. 



Im Jahre 1903 bewies Herr Kraft ^) mit elementaren Hilfsmitteln 

 den Satz II und auch eine von Herrn Borel gefundene Verallgemeine- 

 rung desselben^); von dieser wird in der folgenden Arbeit keine Rede 

 sein, da es sich hier um die Verallgemeinerung des Picardschen Satzes 

 nach einer ganz anderen Richtung hin handeln wird. 



Ich publizierte nämlich im Jahre 1904 ^) folgende Verallgemeine- 

 rung des Satzes I, deren Wortlaut mir sehr unerwartet und anfangs 

 sehr unwahrscheinlich ei'schien : 



Satz V: Wenn eine ganze transzendente Funktion 



F{x) = ao + a, a; + «2 -c" + ••• + «„ a;" +■■ ■ 



') wurde oberhalb der absoluten Beträge aller — nach Voraussetzung nur 

 in endliclier Anzabl vorbandenen — Wurzeln der Gleichungen (2) und (3) gewählt. 



°) „Demonstration elenientaire d'un theoreme de M. Picard sur les f'onctions 

 entieres", Comptes rendus etc., Bd. l-2'2, 1896, S. 1045—1048. 



') ,Cber ganze transzendente Funktionen von unendlicher Ordnung". Inaugural- 

 dissertation. Göttingen, 1903. 



*} Herr Borel hatte keine ganz vollständige Begründung dieses Satzes (über 

 ganze transzendente Funktionen) publiziert, welchen Herr Kraft als das Picard- 

 Borelsche Theorem bezeichnet. 



^) ,Uber eine Verallgemeinerung des Picardschen Satzes", Sitzungsberichte der 

 Königlich Preussischen Akademie der Wissenschatten, Berlin, 1904, S. 1118 — 1133- 



