Clier den Pirardschen Satz. :255 



gegeben ist, in welcher «i =(= ist'\ so gibt es eine nur von 

 «0 und Oj abhängende Zahl 



E = B («0, a,), 

 so dass im Kreise 



\x\<R (4) 



mindestens eine der beiden Gleichungen 



F(x) = 0, 



Fix) = 1 

 eine Wurzel besitzt. 



Für a„ = und «0=1 ist dies selbstverständlich ; für % 4= 0, 

 «0 =t= 1 besteht die durch den Satz V festgestellte merkwürdige Tat- 

 sache, dass alle ganzen transzendenten Funktionen mit den beiden 

 festen Anfangskoeffizienten a^ und «, in demselben Kreise (4) eine 

 Nullstelle oder Einsstelle besitzen. 



Ich fand den Satz V durch eine Umgestaltung des Boreischen 

 Beweises für den Picardschen Satz I; nachdem ich den Satz gefunden 

 hatte, konnte ich ihn ohne Mühe und viel kürzer mit Hilfe der Theorie 

 der Modulfunktionen beweisen. Beide Beweise habe ich 1. c. ver- 

 öffentlicht: jeder derselben lieferte den noch allgemeineren Satz (bei 

 welchem die Voraussetzung fallen gelassen wird, dass i^(,r) eine ganze 

 transzendente Funktion ist): 



Satz VI: Wenn «^ und a^ gegeben sind und «i 4= " ist, 

 so gibt es ein nur von (/q und (ti abhängendes 



B = Bißo, ff, ), 



so dass jede für x = reguläre Funktion 



F{x) = «0 -{- f«! x + «2 »c- -f ■ ■ • + «„ x" + ■ • • 



mit den Anfangskoeffizienten (?„ und ff,") im Kreise 



X i < B 



entweder eine singulare Stelle oder eine Nullstelle oder 

 eine Einsstelle besitzt. 



Mit andern Worten, ich zeigte, dass es ein B(^aQ,a^) mit folgen- 

 der Eigenschaft gibt: wenn die Potenzreihe 



') Dies lässt sich bei jedem nicht Iconstanten F{.r) durcli v'me Substitution 

 x = x + a erreichen, so dass der Satz 1 wirklich im Satze V enlhaUen ist. 

 -) d. li. jede für x = reguläre Funktion Fix), bei der 

 F(0) = ao, F'{0) = a, 



