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F{x) = cIq H- «1 a; + «2 a;- + • • • 'f- a„ x" + • • • 



für |.T|<it konvergiert, so ist in mindestens einem Punkte dieses 

 Kreises 



F{x) (l - Fix)) = 0. 



Durch den Satz VI hatte ich bei gegebenen a^ und a, (a, =t= 0) 

 die Existenz einer wohlbestimniten endlichen Zahl (p mit folgenden 

 Eigenschaften bewiesen : 



1. ö sei eine positive Grösse; dann ist jede für | a; ' < g? + ö 

 reguläre Funktion 



«0 + «1 X H 



in jenem Kreise mindestens einmal gleich oder 1. 



2. Es sei g3>0 ') und 0<ö<(j&; dann gibt es eine für |x-!<qp — 3 

 reguläre Funktion 



«0 + «1 a; + • • • , 



"welche in jenem Kreise von und 1 verschieden ist. 



Dass die Existenz dieser Zahl «p, mit anderen Worten dieser 

 Funktion ip der beiden Argumente a^, a, aus dem Satz VI folgt, er- 

 sieht man unmittelbar, indem man alle positiven Zahlen a in eine 

 erste und eine zweite Klasse verteilt, je nachdem es eine für j a; | < a 

 reguläre und von und 1 verschiedene Funktion 



«0 + «1 ^ H 



gibt oder nicht. Diese Einteilung definiert einen Schnitt <p=^(p{ao,a^^, 

 welcher endlich ist, da es nach dem Satze VI Zahlen der zweiten 

 Klasse gibt. 



An meine Arbeit schlössen sich in rascher Folge drei bedeutende 

 Arbeiten der Herren Hurwitz-), Schottky^) und Caratheodorj' *) an. 

 Über diese, sowie über eine weitere Arbeit von Herrn Boutroux^j 



') Dies ist für «o 4^ 0, a,, ^ 1 stets der Fall. 



^) „Über die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen Satz der 

 allgemeinen Funktionentlieorie", Vierteljalirssclirift der naturforschenden Gesellschaft 

 in Zürich, Bd. 49, 1904, S. i242— 253. 



') ,Über den Picardsclien Satz und die Boreischen Ungleichungen", Sitzungs- 

 berichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1904. 

 S. 1244—1262. 



*) ,Sur quelques generalisation.s du theorerae de M. Picard", Comptes rendus 

 etc., Bd. 141, 1905, S. 1213—1215. 



'•") ,Propri6tes d'une fonction holomorphe dans un cercle oü eile ne prend pas 

 les valeurs z6ro et un", Bulletin de la societe mathematique de France", Bd. 34, 

 1906, S. 30—39. Herr Boutroux hatte seine Resultate ohne Beweise vordem schon 

 in den Comptes rendus, Bd. 141, 1905, S. 305 — 307 (also zeitlich zwischen dem Er- 

 scheinen der Schottkyschen und der Caratheodoryschen Arbeit) veröffentlicht, unter 

 dem Titel ,Sur les proprietes d'une etc.". 



