Cber den Picardsclieii Satz. i">7 



werde ich im ersten Teil (^§§ 1 — 5) des Folgenden referieren. Im 

 zweiten Teil (§§ 6 — 16) gebe ich eine Reihe von Vereinfachungen 

 und Zusätzen zu diesen Arbeiten an und entwickele mehrere andere 

 Resultate in der Richtung des Satzes VI. 



Den Inhalt der vorliegenden Arbeit habe ich während des Somnier- 

 semesters 1906 in einer vierstündigen Vorlesung ,Über den Picard- 

 schen Satz" vorgetragen, welche überdies die Begründung der Theorie 

 der elliptischen Modulfunktionen nach Herrn Hurwitz M und Herrn 

 Schottkys elementaren Beweis des unten mit XIV bezeichneten Satzes 

 enthielt. Ebenso wird der Leser des Folgenden, welchem die Anfangs- 

 kapitel der Theorie der Modulfunktionen bekannt sind, nicht nötig 

 haben, die in dieser Einleitung zitierten Arbeiten heranzuziehen, um 

 den Beweisen in dieser Abhandlung folgen zu können. Auch für den 

 Teil des Schottkyschen Satzes XIV, welcher hier in Betracht kommen 

 wird, werde ich einen direkten Beweis mit Hilfe der Modulfimktionen 

 angeben. 



Erster Teil. 



§ 1- 



Die bekannten Beweise der Sätze I und VI mit Hilfe der 



Theorie der Modulfunktionen. 



Aus der Theorie der elliptischen Funktionen kennt man eine 

 unendlich vieldeutige analytische Funktion v (//), welche als Quotient 

 zweier passend gewählter Perioden des elliptischen Integrals 



./ \z{g-l){z->/) 



definiert ist und u. a. folgende Eigenschaften jjesitzt: 



1. v{!j') hat nur die Punkte // = 0, y=l und // = oo zu singu- 

 lären Stellen. 



2. Der imaginäre Teil -) von v ( //) ist stets positiv. 



3. Die inverse Funktion 



ist in der Halbebene 



') ,Cber die Theorie der elliiitisohen Mudulfuiiktionen'', Matliematische Annalen, 

 Bd. 58, 190*, S. 343—360. 



-) Unter dem imaginären Teil ^(z) einer komple.ven GrOsse s = a -{- ßi ver- 

 stehe ich die Grösse ß und setze ferner « = SR (*). 



