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regulär und über die Axe des Reellen nicht fortsetzbar. 



4. A(.r) ist in jener Halbebene von und 1 verschieden. 



Zu dieser Funktion kann man bekanntlich auch von der Theorie 

 der linearen Differentialgleichungen aus gelangen. Für diejenigen An- 

 wendungen, welche nur die Kenntnis irgend einer Funktion mit den 

 Eigenschaften 1., 2. oder 1., 2., 3., 4. erfordern, ergibt sich die Exi- 

 stenz einer solchen auch aus dem allgemeinen Schwarzsehen Satze 

 von der Möglichkeit der konformen Abbildung eines von endlich Aielen 

 Bogen analytischer Kurven begrenzten Flächenstückes auf eine Halb- 

 ebene, wenn man ein passend gewähltes Kreisbogendreieck auf eine 

 Halbebene abbildet und das Symraetrieprinzip anwendet; so verfährt 

 Herr Osgood ') zum Beweise der Picardschen Sätze I und III. 



Betrachtet man den Periodenquotienten als Funktion a (j/) der 

 sogenannten absoluten Invariante (an Stelle des Modulquadrates), so 

 hat diese Funktion a(y) bekanntlich die drei ersten (jedoch nicht die 

 vierte ) der oben für v (i/) angegebenen Eigenschaften : 



1. (o{y) hat nur die Punkte y^=0, y = l und //=oo zu singu- 

 lären Stellen. 



2. Der imaginäre Teil von c3(y) ist stets positiv. 



3. Die inverse Funktion 



y = J{x) 

 ist in der Halbebene 



regulär und über die Axe des Reellen nicht fortsetzbar. 



Herr Hurwitz hat die Theorie dieser Funktion J{x), also von «((/), 

 in der auf Seite 257, Anm. 1 zitierten Arbeit besonders einfach begründet, 

 von der Definition 



(02 ,.1 \^ 



^ + 20 2: n' ^) 



h 77 (l-7*"r 



ausgehend. Von a{y) zu v{^y) (d.h. zu einer Funktion mit den obigen 

 vier Eigenschaften) kann man alsdann leicht übergehen, indem man 



setzt. 





') jSelecteil topics in the general tlieory of functions, Lecture I, Picard"s theo- 

 rem, and the applieation of Riemiinn's geometric methotls in the general theory of 

 functions", Rulletin of tlie American niathematical Society, Ser.2, Bd. 5, 1898, S.59 — 69. 



