Über den Picanlschen Satz. 259 



Herr Picard beweist nun seinen Satz I auf folgendem Wege unter 

 Benutzung der Eigenschaften 1. und 2. der Funktion i'(//) (^an deren 

 Stelle also auch a (//) genommen werden kann) : Es sei F{x) eine 

 ganze transzendente Funktion, welche für alle x von und 1 ver- 

 schieden ist. Dann ist insbesondere 



i^i^Ol + O, -F(0)=)=1. 



In der Umgebung von i^(0) ist also jeder Zweig von v[i/) regulär; es 

 sei ein solcher zu Grunde gelegt, und es werde hierin 



y = Fix) 



gesetzt. Dann ist 



G {x) = V [F{x)) 



jedenfalls für alle x regulär, deren absoluter Betrag hinreichend klein 

 ist. Beschreibt nun aber x eine beliebige Bahn, so ist nach Voraus- 

 setzung auf derselben niemals Fl x') gleich oder 1, also f?(.r) längs 

 derselben fortsetzbar ; ferner entspricht jedem geschlossenen Wege der 

 a;-Ebene eine Kurve der (/-Ebene, welche sich ohne Überschreitung 

 der Punkte // = und ?/ = 1 in einen Punkt zusammenziehen lässt. 

 Daher ändert sich G (x) bei jenem geschlossenen Wege nicht. G (x) 

 ist also eine ganze transzendente Funktion von x. Da ferner der 

 imaginäre Teil von v (y) stets positiv ist, so ist stets 



3(G(x'))>0. (6) 



Wird 



e'«<^'= H{x) 



gesetzt, so ist also H(x) eine ganze transzendente Funktion, und es 

 ist beständig 



Nach dem Liouvilleschen Satze ist also H{x) eine Konstante, also 

 auch G{x) ') und wegen 



Fix)^).{G(x)) 



auch F(x), was zu beweisen war. 



Diesen Picardschen Gedankengang habe ich nun zu folgendem 

 Bew^eise des Satzes VI benutzt : Es sei «i 4= *^ un*^ für j; j < ;• 



F(x) = tto H- ff 1 x + «2 ^' 4- • • ■ + a„ x" + • • • 



') f'brigens folgt dies auch schon aus (6) nach dem Casorati -Weierstra.ss'schen 

 Satze, dass eine ganze transzendente Funktion, die nicht lionstant ist, jedem Werte 

 beliebig nahe kommt. 



