über den Picardschen Satz. 265 



SO befindet sich in diesem Kreise entweder eine singulare 

 Stelle von F{,r) oder eine Stelle, an welcher Fix) den Wert 

 a annimmt, oder eine Stelle, an welcher F{:r) den Wert b 

 annimmt. 



Mit Hilfe dieses Satzes XIII entwickelt nun Herr Hurwitz einen 

 höchst einfachen Beweis des Picardschen Satzes II; wegen der An- 

 wendung von XIII ist dieser Beweis nicht elementar; er ist jedoch 

 viel kürzer als der Picardsche Beweis mit Modulfunktionen. Wie aus 

 der Bemerkung auf S. 252, Z. 12 — 15 hervorgeht, hat Herr Hurwitz 

 auch erkannt, dass sich der Picardsche Satz III auf ganz analogem 

 Wege mit Hilfe von XIII beweisen lässt. Dies werde ich später be- 

 nutzen ; ich werde in § 6 mit möglichst geringen Voraussetzungen 

 aus der Theorie der Modulfunktionen einen Satz entwickeln, welcher 

 für die Anwendungen dasselbe leistet wie der Hurwitzsche Satz XIII, 

 und alsdaun in § 9 durch Verbindung dieses Satzes mit den Betrach- 

 tungeu am Ende der Hui'witzschen Arbeit diejenige Beweisanordnung 

 für den Satz III angeben, welche mir zur Zeit als die einfachste er- 

 scheint, wenn man die Elemente der Theorie der Modulfunktionen 

 benutzt. 



§ 3. 

 Inhaltsangabe der Schottkyschen Arbeit. 



Herr Schottky beweist in § 1 seiner Arbeit die bekannten Hada- 

 mard- Boreischen Ungleichheitsbeziehungen zwischen dem absoluten 

 Betrage und dem reellen Teil einer analytischen Funktion mit Hilfe 

 des Poissonschen Integralsatzes und entwickelt einige andere Hilfs- 

 sätze. Im § 2 beweist er, lediglich unter Benutzung jener elementar- 

 funktionentheoretischen Hilfsmittel, den folgenden grundlegenden Satz ') : 



Satz XIV; Es sei 



F(x) = «0 + «1 x-{- üj ./■' -|- • • • -f- «„ x" + • • ■ 



für .'■ I < /■ i-egulär, von und von 1 verschieden. Es sei 

 X die durch «q wohlbestimmte positive Konstante: 



X = Min. I Log a„ \ , \ Log (1 — «q) . Log — ^^ j , 



wo Log z der reduzierte Wert-) des Logarithmus ist. Es sei 



J\.r) = log F[X) 



') Bei dessen Wiedergabe setze ich. was für meine Zwecke ausreicht und im 

 Ihrigen keine Einschränkung der Allgemeinlieit ist. die von Herrn Schottky mit «, 

 b. C. Xo bezeichneten Grössen =0, 1, x, (). 



2J d. h. der Wert, ilessen imaginärer Teil zwischen — Jt(exkl.) und 7i(inkl.l liegt. 



