208 Edmund l.andau. 



also 



^49 < "w 





übrigens erwähnt Herr Schottky diese unmittelbaren Folgerungen 

 XV und XVI aus XIV nicht besonders ; die Hauptanwendung des 

 Satzes XIV, welche den grössten Teil des § 3 seiner Arbeit ausfüllt, 

 besteht vielmehr darin, dass Herr Schottky zum ersten Male einen 

 elementaren (d. h. von der Theorie der Modulfunktionen unabhängi- 

 gen) Beweis des Picardschen Satzes III erbringt. Während der acht 

 Jahre seit dem Erscheinen von Herrn Boreis elementarem Beweise 

 des Picardschen Satzes I hatte diese Aufgabe allen Anstrengungen 

 widerstanden. ') 



§ i- 

 Inhaltsangabe der Caratheodoryschen Arbeit.-) 



Aus Herrn Caratheodorys auf Seite 256 zitierten Arbeit hebe ich 

 zunächst hervor, dass er die Funktion qp(ao,«i), deren Existenz ich 

 bewiesen hatte, explizit bestimmt hat. Ich will seine Untersuchung 

 ausführlich reproduzieren (in meine Bezeichnungsweise übertragen), 

 da ich von seinem Gedankengang mehrfach Gebrauch machen werde. 

 Herr Caratheodory bewies den 



Satz XVII: Es ist 



. s 2S(r(a„)) 



wo 



" (.y) = " («o) + "'(«o) (y — «o) -^ 



ein beliebiger Zweig der inversen Modulfunktion ist. 



Dass die rechte Seite der Gleichung (17) unabhängig von dem 

 gewählten Zweige der inversen Modulfunktion ist, ist leicht verifizier- 

 bar. Denn bekanntlich ergeben sich alle Zweige N aus einem, v, 

 durch die Substitutionen 



') Vergl. die historischen Bemerkungen am Ende der Schottkyschen Note , Be- 

 merkung zu meiner Mitteilung : Ül)er den Picardschen Satz und die Boreischen Un- 

 gleichungen', Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen- 

 schaften, Berlin, 1906, S. 32—36. 



-) Es kommen hier nur einige Teile dieser kurzen, aber inhaltsreichen Note 

 in Betracht. 



