über den Picaidschen Satz. -271 



F{,r^ = A {g (0)) + k'{G (())) G'(p) .-■ ^ 



folgendem! asseii : 



A(e(0)) = A(ro) = «o. 



k'{G (0)) G'(0) = A'(0 0, «, = ({" ) • (T^f ) • «1 = «■ ' 



z = Cq c = Co 



/. = 00 '■ = «0 



SO dass i^(^./) alle geforderten Eigenschaften besitzt. 



Damit ist der Satz XVII bewiesen. 



Herr Caratheodory bewies ferner den Schottkyschen Satz XV und 

 damit XVI auf folgendem Wege, bei dem das charakteristische in der 

 Anwendung des bekannten Satzes ') liegt : 



„Wenn 



i/(.r) = f/,,/- + c/2.x--H , 



wo also 



^(0) = () 



ist, für ■'■ < /■ konvergiert und wenn ebenda 



//(./•) <ß 

 ist, so ist für ' ,'■ i < r sogar 



In der Tat ist nach Voraussetzung -- für ! x < r regulär : für 

 Q< x\< I , wo U < p < r ist, ist nun 



I B(x) 

 also ist für ./• 1 < r 



1 Wf.rl I ß 



< — 

 9 



3(x) 



Hierin ist g eine beliebige positive Grösse </•; daher ist auch 



Hi^x) < ^^ ß. 



Es sei nun 



F(.r) = «0-1-«, X -I • 



für xi<r regulär, =t= " und =)= 1, 



« il/) = <'o + Ci (.'/ — öo) H 



') Vergl. Schwarz, ,Zur Theorie der Abbildung'. Programm der eidgenössisclien 

 polytechnischen Schule in Zürich für da.s Schuljahr 1861)/'l*. §■ - ; Gesammelte mathe- 

 matische Abhandlungen. Bd. i, S. 110—111. 



