274 l'Miiiiniil Liiri(l:iii. 



dalier ist 



<p{<to,a,)-=^\c['^{c,)e,-e,' | -J- ' • (20) 



Nun ist tler Iiilialt Q des durch die l)eiden komplexen Grössen 2 w, 

 2 a bestimmten Periodenparallelogramms 



= 4 |<ai^S(^ ) =4|Mr;3(Co); 

 dalier erliält man 



9(ao,a,) = ^^-\e,-e,\ *»- | ■ (21) 



Dies ist Herrn Hartogs' Darstellung des Caratheodoryschen Satzes. 

 Herr Hartogs gab mir auch folgende beiden Formeln an: 



1. Es ist bekanntlich 



'^- (^ - ^.) = K (0 I Co) = (1 - 2 e^»"'' + 2 e^^»"'- 2 6^^"'+ • ■ •)^ 



also nach (20) 



g,(a„,«j) = 2:r3(c„)|&J(0|c„)| ! -|»- | • 



2. Wählt man speziell 



9) («0, «i) = „ I -fi^ I' 3{ ( k) I «0 I ! 1 — «0 I J^ . 



wo 



1 1 



J vTr^i'^Hi-^M^' J V(i-a(i-(i-«o)<') 



U 



ist. Die beiden neuen Formeln erscheinen für praktische Zwecke ge- 

 eignet, während die Formel (21) sich dadurch auszeichnet, dass alle 

 in ihr vorkommenden Grössen von der speziellen Wahl von („ unab- 

 hängig, d. h. gegenüber allen in Betracht kommenden («q ungeändert 

 lassenden) linearen Transformationen des Periodenpaares invariant sind. 

 Endlich machte mich Herr Hartogs darauf aufmerksam, dass für 

 «0= \.y die Funktion ja, | 9? (^^q, «, ) durch bekannte Konstanten (wenn 



r (~r) zu diesen gerechnet wird) in folgender Weise ausdrückbar ist: 



Hl-'-) --l-H))'^- 



