über den Pioardschen Satz. 



In der Tat ist für «„ = tt ein Wert 



und bei geeigneter Wahl des Proportionalitätsfaktors 

 Pi=l- ''2=0, 63= — 1, 



II- ^(^-(t))- 



was, in (20) eingesetzt, den obigen Ausdruck ergibt. 



Der Caratheodorysche Gedanke der Anwendung des Satzes auf 

 Seite 271 ist, wie sich schon gezeigt hat, von grosser Tragweite. Ich 

 will hier noch eine andere Anwendung jenes Gedankens angeben. 

 Dieselbe findet sich nicht in seiner Arbeit, ist jedoch Herrn Cara- 

 thoodory zuzuschreiben, da ich nur eine briefliche Andeutung von ihm 

 interpretiere: Der Satz von S. 271, durch konforme Abbildung auf die 

 Halbebene übertragen, sei nichts anderes als eine schärfere Fassung 

 der Hadamard- Boreischen Ungleichheitsbeziehungen zwischen dem 

 absoluten Betrage und dem reellen Teile einer analytischen Funktion. 

 Es handelt sich im folgenden um den Satz: 



„Wenn -F(.i) für \jc\<7- i-egulär ist, wenn für ;,'■; = /• (also für 

 I a; I < ;•) 



^{F{.r))<A 

 und 



<A 

 ist. wenn ferner 



0<9<r 



ist, so ist für j' = 9 {edso für .'• : < q) 



! ^(^0 1 ^ t s {F{o)) 1 + ;^^ (2 ^ + 1 ji^^ {F{ü)) \y. 



Dieser Satz wird nach den Herren Hadamard und Borel folgen- 



dermassen bewiesen : In 



'f. 



F{.r) = ^ a„ X" 



n = Ü 



ist liekanntlich für « > 1 



««=^/^(n'))''-""^/<P, 



wo ./• den Kreis r e'" durchläuft, und, wenn 

 gesetzt wird. 



