Über den Picardsclien Satz. :27!( 



Zweitei- Teil. 



§ <3. 

 VerallgemeiDerung des Hurwitzschen Satzes VII. 



Hei'i' Hurwitz hat, um seinen Satz VII 



2 1 



<PK'«i)^i^ «0 ' "o-l ' (22) 



zu beweisen, wo Ä eine absolute Konstante ist, mehrere tiefer liegende 

 Eigenschaften der Modulfunktion benutzt, insbesondere die Gleichung 



^^ = 4 V 3 i « ]/{J(x)f )/j(.r) - 1 h' n{l- in\ 



Ich will jetzt eine elementarere Begründung von (22) angeben, welche 

 mir schon deshalb von Interesse zu sein scheint, weil sie zeigt, dass 

 die Exponenten ^ und -^ nicht charakteristisch sind, sondern durch 

 beliebige echte Brüche ersetzt wei'den können, deren Summe >1 ist. 

 Dies wird das Endglied einer Kette von Sätzen sein, bei deren Ab- 

 leitung ich übrigens von Herrn Caratheodorys genauer Bestimmung 

 der Funktion cp{a^,ai) keinen Gebrauch mache. 

 Satz XIX: Es ist 



<p(f'o,«i) = 7^^("o'l)- 

 Beweis: Es sei für |j|<?- 



F{.r) = a,-h a, ,r -+- • • . («. 4= 0) 



regulär, ={= und ={= 1. Wenn 



z 



X = — , 



Ol 



F(x) == f(^) =fiz) = „„ + ^ + . . . 



gesetzt wird, so ist/(i) für |z|<|ai|»' regulär, 4=0 und =j= 1- Um- 

 gekehrt : ist 



f{z) = ao + 2 H 



für \z\<^ai\r regulär, =}= und =j= 1, so ist 



-F'C-^) =/(«! ^) = «0 + «i -f H 



für ./■</• regulär und +0, =t= 1- Daher ist 



qD(ao,a,)= -jj-j(p{ao, l). 



