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über den F'ica,I•ll^;<■llell Satz. 281 



/w = v +■'•-; 



für \x\< - — s- regulär, 4= und 4= 1 ; dann ist 



1 



für |.r|<r regulär, =|= und 4= 1, womit der Satz bewiesen ist. 



Der Satz XXI gestattet, (p (a) abzuschätzen (oder zu bestimmen), 

 sobald diese Aufgabe für |«|<1 (oder für | a [ ^ 1) gelöst ist; der 

 Satz XX gestattet, dies Gebiet noch zu verkleinern. Von diesen 

 beiden Sätzen werde ich folgenden Gebrauch machen. Ich zerlege 

 die Ebene in vier Teile: 



1) das Kreisäussere | « } > 10, 



2) das Kreisinnere I "^ I < y^r > 



3) das Kreisinnere | « — 1 j < -— , 



4) den übrigen Teil der Ebene, also das dreifach zusammen- 

 hängende Gebiet 



!«i,<10, |«|> 10' l«-l|^l- 



Im Gebiete 1) werde ich qi (k) mit Hilfe der Tatsache abschätzen, 

 dass Ji-r), als Funktion von li betrachtet, für /i = eine ausser- 

 wesentlich singulare Stelle erster Ordnung besitzt. Daraus folgt dann 

 durch XXI eine Abschätzung für den Kreis 2). hieraus nach XX die 

 Abschätzung für 3). Was endlich das Gebiet 4) betrifft, so ist in 

 diesem a (//) regulär, woraus ohne weiteres folgen wird, dass cp («) 

 dort unterhalb einer endlichen Schranke liegt, was für meinen Zweck 

 ausreicht. Der hier skizzierte Gedankengang wird zu dem folgenden, 

 schon auf Seite 279 angedeuteten Satz führen : 



Satz XXII: Wenn &, und 9^ zwei gegebene Zahlen sind, 

 welche die Bedingungen 



1 > 'S-, > 0, 1 > «■, > 0, •i^, + i^2 > 1 



erfüllen, so gibt es eine absolute Konstante .-1 derart, dass 

 für alle Werte von a 



|<p(«)|<A|a|'''|« — II"^ 

 ist. 



Beweis: 1) Es ist, wie aus der Dcfinitionsgloichung (5) folgt, 

 für 3 (■*■) > 0, wenn 



