l'ber den Piciirdsclien Satz. 285 



§ '• 

 Vereinfachter Beweis des Hurwitzscheu Satzes X. 



Ich möchte nunmehr zeigen, dass sich der Hurwitzsche Satz X 

 aus dem Satz Vll folgern lässt, ohne nochmals die Theorie der Modul- 

 funivtiouen anzuwenden. Es handelt sich darum, zu beweisen: Wenn 



F(x) = 1 + «1 ;r H («1 4= 0) 



für I j: I < r konvergiert und für < | a; | < r von und 1 verschieden 

 ist, so ist 



|ai! 



wo B eine absolute Konstante ist; man kann dabei auch leicht den 

 Wert £ = 58 erreichen und verkleinern, wenn man den Satz VII mit 

 der Konstanten 16 zu Grunde legt. 



Zufolge der Voraussetzung ist für | .r [ < r 



/(.r)=|/:F(.;y=l + f ^'H---- 

 regulär, und es ist für < | a- 1 < r 



/(.r)4=0, +1, +-1. 

 Also ist für \x\< r 



-/G'-) = - 1 - ^ ^- + • • • + 0, + 1, (36) 



also nach Satz VII 



r < 16 —^ 'V P VT = 33 V'^ < J^ . 



Dass r unterhalb einer festen Schranke -; — r liegt, lässt sich auch 



1 rt, I ° 



so beweisen: Es ist 



i^(.r) 



_ff(x) aix + 



wo g{.r) für ;.'■</■ regulär und für < ' .'• < r kein Vielfaches von 

 2 n i ist. Also ist für \x < r 



(j (.',■) = aj ö; + • ■ ■ =t= ^ "^ *, 4= — '^^i, 



also nach Satz IX 



^ B 



Übrigens lässt sich unter Benutzung der Gleichung (20) und der 

 Satze XIX, XX und XXI zeigen, dass 



